Розрахунки надійності електронної апаратури (стр. 2 из 4)
Довірчий інтервал характеризує точність отриманого результату, а довірча ймовірність – його надійність.
2.1 Довірчий інтервал при нормальному розподілі
Нехай величина Х розподілена за нормальним законом з параметрами Мх і σх. Розглянемо питання про знаходження довірчих границь для математичного сподівання.
Потрібно знайти ймовірність нерівності:
(9)Якби закон розподілу
був відомим, то знаходження ймовірності нерівності (9) не викликало б складнощів. Проте закон розподілу оцінки залежить від розподілу величини Х та її невідомих параметрів Мх і σх.Нам відомо, що величина Х розподілена за нормальним законом, але зважаючи на те, що параметри Мх і σх цього закону невідомі, скористуватися цим законом розподілу неможливо.
Щоб обійти це ускладнення, введемо замість випадкової величини
іншу випадкову величину Тт: 
(10)де
(11)п – кількість спостережень;
– статистична дисперсія величини Х.В математичній статистиці доведено, що випадкова величина Тт підкоряється так званому закону Стьюдента:
(12)де Г(п/2) – гамма – функція;
п – кількість спостережень.
З рівняння (12) видно, що розподіл Стьюдента не залежить від параметрів Мх і σх величини Х, а залежить тільки від аргументу t і кількості спостережень п.
Розподіл Стьюдента дозволяє знайти ймовірність нерівності
Для цього задамося довільним позитивним числом ta і знайдемо ймовірність влучення величини Тт на відрізок (-ta, ta): 
(13)Підставимо в ліву частину цієї формули замість Тт його значення з формули (10) і отримаємо:
(14) 
(15)де
– довірча ймовірність; 
ta – квантиль розподілу Стьюдента для вибраної ймовірності P(ε) та кількості ступенів свободи r=n-1.
Функція ta табульована. За допомогою такої табульованої функції можна вирішувати практичні задачі з оцінки точності математичного спадкування.
Довічний інтервал знаходиться так:
1. Задамося довірчою ймовірністю P(ε). Зазвичай P(ε)=0,9; 0,95; 0,98; 0,99.
2. Знаходимо величину σm за формулою (11).
3. Визначаємо кількість ступенів свободи r=n-1.
За відомими r та P(ε) знаходимо за таблицями [1] величину ta.
5. Помноживши ta на σm, знаходимо ε= ta∙σm – половину довжини довірчого інтервалу.
6. Знаходимо довірчий інтервал
2.2 Довірчий інтервал при експоненціальному розподілі
При експоненціальному законі розподілу відмов оцінки параметрів λ і напрацювання до відмови То відповідно дорівнюють:
(16)де tΣ – сумарне напрацювання;
n – кількість відмов в інтервалі tΣ.
Для неремонтованих елементів сумарне напрацювання:
(17)де tі – час справної роботи і - го елемента, який відмовив;
N – кількість елементів (приладів);
tв – час випробовувань;
n – кількість елементів (приладів), що відмовили.
Для ремонтованих елементів сумарне напрацювання:
(18)Для випадку, коли випробовування проводяться до тих пір, поки не відмовлять всі елементи (прилади), які поставили на випробовування, сумарне напрацювання:
(19)Довірчий інтервал для інтенсивності відмов λ за експоненціальним розподілом знаходиться з допомогою квантилів розподілу χ2, в яких параметрами є довірча ймовірність та кількість ступенів свободи r.
Нижня λн і верхня λв границі інтенсивності відмов знаходяться як:
(20)де
. (21)У формулах (21)
квантилі розподілу χ2 при кількості ступенів свободи r=2n.Значення коефіцієнтів r1 і r2 табульовані для різних ймовірностей Р(ε) і кількості елементів, що відмовили n.
Враховуючи, що за експоненціальним розподілом
отримаємо: 
(22)На практиці часто потребується отримати в процесі випробування інтенсивність відмов з помилкою, яка б не перебільшувала задану. В цьому випадку при плануванні випробовувань потрібно визначити кількість відмов п, кількість екземплярів апаратури N, яку поставили на випробовування, сумарне напрацювання апаратури tΣ та довжину етапу випробовувань tв.
Якщо задана гранична помилка виражена у відсотках і дорівнює ξо, то:
(23)Для експоненціального розподілу часу безвідмовної роботи:
Тоді, при заданій ймовірності Р(
) і rξ=r1 визначимо кількість відмов п, яку необхідно отримати в процесі випробовувань. Об’єм вибірки за виразом (18). Результати випробовувань вважаються позитивними, якщо: 
(24)2.3 Довірчий інтервал при розподілі Пуассона
надійність електроапаратура експоненціальний
Довірчі границі у випадку розподілу Пуассона обчислюється за формулами :
; 
(25)де а – параметр розподілу Пуассона (математичне сподівання кількості відмов); а = λt;
n – кількість відмов, які виникли в процесі випробовування;
коефіцієнти r1 і r2 визначаються за формулою (21).
Довірчий інтервал для інтенсивності відмов при розподілі Пуассона знаходиться так:
1. Задаємося довірчою ймовірністю Р(ε).
2. За заданими значеннями п та Р(ε) знаходимо коефіцієнти r1 і r2.
3. Розраховуємо за формулою (25) значення ан та ав параметрів розподілу Пуассона.
4. За заданим сумарним напрацюванням tΣ знаходимо довірчі границі для λ:
3. Критерії згоди
Між статистичним розподілом та теоретичною кривою на практиці завжди є розбіжності. При цьому потрібно переконатися, викликані ці розбіжності тільки випадковими обставинами, які пов’язані з обмеженою кількістю спостережень, або вони є істотні і пов’язані з тим, що вибрана крива погано вирівнює даний статистичний розподіл. Отже, виникає питання про узгодження теоретичного і статистичного розподілів. Перевірка такої узгодженості здійснюється за критеріями згоди. Критеріями, які найбільш використовуються, є критерій Колмогорова та критерій χ2 Пірсона.
3.1 Критерій Колмогорова
При застосуванні критерію згоди Колмогорова як захід розбіжності між теоретичним і статистичним розподілом розглядається максимальне значення модуля різниці між теоретичною та експоненціальною функціями розподілу.
На рис. 2 наведені теоретична та експоненціальна функції розподілу F(t).
Рисунок 2 – Функції розподілу F(t)
На підставі цього критерію експериментальний розподіл узгоджується з вибраним теоретичним, якщо виконується умова:
, (26)