Основи теорії експлуатації і надійності електронної побутової апаратури (стр. 3 из 4)
Подію, ймовірність якої дорівнює одиниці, називають вірогідною подією. Подію, ймовірність якої близька до одиниці, називають практично ймовірною.
На основі введеного поняття розглянемо основні теореми теорії ймовірності, які широко застосовуються під час вирішення багатьох задач надійності.
3.1 Теореми додавання та множення ймовірностей
Ймовірність суми n несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
. (1)Ймовірність добутку незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:
. (2)На практиці рідко зустрічаються задачі, в яких потрібно застосовувати тільки теорему додавання або тільки теорему множення ймовірностей. Як правило, ці теореми застосовують спільно.
3.2 Теорема повної ймовірності
На основі теореми додавання та множення формулюється теорема повної ймовірності.
Нехай потрібно визначити ймовірність деякої події А, яка може відбутися разом з однією з подій
, що утворюють групу несумісних подій, які називаються гіпотезами:
,(3)тобто ймовірність події А знаходиться як сума добутків ймовірностей кожної гіпотези на ймовірність події при цій гіпотезі.
3.3 Закони розподілу випадкової величини
Законом розподілу випадкової величини називають співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливим значенням випадкової величини та відповідними їм ймовірностями. Вважають, що випадкова величина в цьому випадку підпорядкована даному закону розподілу.
Інтегральним законом розподілу або функцією розподілу називається функція виду:
(4)де x – деяка поточна змінна.
Функція розподілу – універсальна характеристика випадкової величини. Вона існує як для перервних, так і безперервних величин і характеризує ймовірність події Х<x. Функція розподілу має такі властивості:
- функція розподілу F(x) є функція, яка не зменшується від свого аргументу, тобто при х2>x1, F(x2)≥F(x1);
- на мінус нескінченності функція розподілу дорівнює нулю F(-∞)=0;
- на плюс нескінченності функція розподілу дорівнює одиниці F(∞)=
Нехай маємо випадкову величину Х з функцією розподілу F(x), яку припускаємо безперервною та диференційованою. Обрахуємо ймовірність натрапляння цієї випадкової величини у відрізок від х до х+Δх. Умовимося лівий кінець відрізку х включати в інтервал х, х+Δх, а правий – не включати. Тоді потрапляння випадкової величини Х у відрізок х, х+Δх рівносильне виконанню нерівності:
Виразимо ймовірність цієї події через F(x). Для цього розглянемо три події:
- подія А полягає в тому, що Х<x+Δx;
- подія В полягає в тому, що Х<x;
- подія С полягає в тому, що х≤ Х<x+Δx.
Враховуючи, що А=В+С, згідно з теоремою додавання ймовірностей отримаємо:
або 
звідки 
тобто отримати приріст функції розподілу на цьому відрізку.
Отже, ймовірність потрапляння випадкової величини у заданий інтервал дорівнює приросту функції розподілу на цьому інтервалі.
Розглянемо відношення (частку) цієї ймовірності до довжини інтервалу та наближатимемо Δx до нуля.
На границі ми отримаємо похідну від функції розподілу:
(5)Функція f(x) – похідна функції розподілу, характеризує щільність, з якою розподіляється значення випадкової величини у даній точці. Ця функція називається щільністю розподілу або диференціальним законом розподілу величини Х. Щільність розподілу є однією з форм закону розподілу. На противагу функції розподілу щільність існує тільки для безперервних випадкових величин.
Кожен закон розподілу являє собою деяку функцію, яка повністю описує випадкову величину з імовірнісної точки зору. Проте часто на практиці немає необхідності характеризувати випадкову величину повністю, буває достатньо лише знати окремі числові параметри. Такі параметри, які характеризують у стислій формі істотні особливості розподілу, називаються числовими характеристиками випадкової величини. Основними числовими характеристиками випадкових величин, які вивчають у надійності, є математичне сподівання або середнє значення та дисперсія.
Для перервної величини Х математичним сподіванням називається сума добутків усіх можливих значень випадкової величини на ймовірність цих значень:
(6)Для безперервної величини Х математичне сподівання виражається вже не сумою, а інтегралом:
(7)де f(x) – щільність розподілу величини Х.
Дисперсія випадкової величини Х є характеристика розсіяності, тобто розкидання значень випадкової величини біля її математичного сподівання.
Відповідно для перервних і безперервних випадкових величин маємо:
(8) 
(9)Величина, отримана добуванням квадратного кореня з дисперсії, називається середньоквадратичним відхилом випадкової величини Х від математичного сподівання:
(10)На практиці часто доводиться визначати числові характеристики випадкової величини за обмеженим об’ємом статистичних даних про відмови, яких замало, щоб судити про закон розподілу випадкової величини. У цьому випадку знаходять статистичні характеристики (оцінки):
- статистичне математичне сподівання (середнє значення):
(11)- статистичну дисперсію:
(12)- дисперсію математичного сподівання:
(13)- дисперсію дисперсії:
(14)4. Елементи теорії масового обслуговування
Процес виникнення відмов у роботі ЕА, організація та проведення її ремонту, постачання запасними елементами, матеріалами та інші ситуації в теорії та практиці експлуатації ЕА можуть бути описані методами теорії масового обслуговування.
Системою масового обслуговування називається система, яка складається з деякого числа обслуговуючих одиниць, які називаються каналами обслуговування. Системи масового обслуговування можуть бути одноканальними та багатоканальними. Основними елементами системи масового обслуговування є: потік подій, кількість каналів та швидкодія кожного каналу. Під потоком подій розуміють послідовність подій, які проходять одна за одною в деякі моменти часу. Потік подій називається найпростішим, якщо він має властивість ординарності, стаціонарності та відсутність післядії.
Ординарність потоку означає, що ймовірність появи двох і більше подій за один і той самий момент часу практично відсутня.
Стаціонарність потоку означає, що ймовірність тієї або іншої кількості подій на відрізок часу довжиною t=Δt не залежить від t і залежить тільки від довжини відрізку Δt.
Відсутність післядії полягає в тому, що для двох відрізків часу Δt1 і Δt2 кількість подій, які потрапляють в один з них, не залежить від кількості подій, які потрапляють в другий.
Режим роботи системи масового обслуговування залежить також від характеристик продуктивності самої системи: кількості каналів і продуктивності кожного каналу. Однією із найважливіших величин, пов’язаних з системою, є середній час обслуговування однієї заявки
У практиці найбільшого поширення набув випадок, коли величина
має експоненціальний розподіл:
(15)де
– величина, зворотна середньому часу обслуговування однієї заявки.Системи масового обслуговування поділяються на два основних типи: системи з відмовами та системи з очікуванням. У системах з відмовами заявка, яка надійшла в момент, коли всі канали обслуговування зайняті, негайно отримує відмову, залишає систему і в подальшому процесі обслуговування не бере участі.
У системах з очікуванням заявка, яка застала всі канали зайнятими, не залишає системи, а стає в чергу і очікує, поки не звільниться який-небудь канал.
Процес експлуатації електронної побутової апаратури (заявки на ремонт, постачання запасних елементів тощо) може бути найбільш повно описаний тільки з використанням теорії масового обслуговування з очікуванням.
Нехай у системі є n каналів. На вхід системи надходить найпростіший потік заявок з інтенсивністю (щільністю) λ. Середній час обслуговування однієї заявки
– експоненціальний з параметром 
. Середня кількість заявок α3=λ Час очікування не обмежений.