(15)

Зробимо інтегрування отриманої формули за частинами:

Очевидно, що

у зв’язку з тим, що при верхній границі P (t) швидше наближається до нуля, ніж t 4

. Тоді середнє напрацювання до першої відмови можна знайти за формулою:

(16)

За даними експерименту Т_ср однотипних елементів визначається як:

де t_i - час справної роботи і-го елемента;

N - загальна кількість елементів в експерименті.

Практично ж знати час довготривалості справної роботи t_i всіх елементів неможливо.

Тоді:

(17)

де Δп_і - кількість елементів, які відмовили за інтервал часу Δt= (t_i+1-t_i);

t_i - час на початку і-го інтервалу; t_i+1 - час в кінці і-го інтервалу. При цьому t_{ср. і}= (t_i+t_i+1) /2; m= t_N/Δt - кількість елементів, що відмовили за інтервал Δt; t_N - час, протягом якого відмовили всі елементи.

Отриманий показник середнього напрацювання до першої відмови найбільш зручний для оцінки надійності неремонтованих (не відновлювальних) елементів.

надійність електронний апарат безвідмовний

2. Безвідмовність ремонтованих ЕПА

Для ремонтованих апаратів характерне чергування справного стану та ремонту після відмови, тобто процес її експлуатації можна подати (показати) як послідовність чергування інтервалів часу працездатного і непрацездатного стану.

Рисунок 3 - Процес експлуатації ремонтованого об’єкта

Появу відмов у кожному з N об’єктів можна розглядати як потік вимог до ремонту. Показниками безвідмовності ремонтованих об’єктів є: ймовірність безвідмовної роботи P (t), параметр потоку відмов ω (t), середнє напрацювання на відмову. Параметр потоку відмов (середня кількість відмов за час потоку, який розглядається) це:

(18)

де N - кількість об’єктів, поставлених на випробування.

При цьому кількість об’єктів (апаратів) у процесі випробування (експерименту) залишається незмінною, тобто об’єкти, які відмовили, замінюються новими. Умови заміни об’єктів, які відмовили під час випробовування, відображають реальний процес експлуатації, коли замість об’єктів (елементів), які відмовили, ставлять нові. У складних пристроях підсумковий потік відмов дорівнює сумі потоків відмов окремих пристроїв:

(19)

Основним типом потоку відмов ЕА в умовах експлуатації є найпростіший, тобто потік, який задовольняє умовам ординарності, стаціонарності та відсутності післядії.

Для ремонтованих апаратів зручним для практики критерієм надійності є середня кількість годин роботи між двома сусідніми відмовами, зазвичай її називають напрацюванням на відмову

Значення розглянутих показників можуть бути знайдені за результатами обробки статистичного матеріалу, отриманого під час експлуатації або спеціально проведених експериментів з групою однотипних приладів. Таким чином, якщо апаратура визначеного типу пропрацювала сумарний час t_Σта при цьому мала п відмов, то напрацювання на відмову:

(20)

Якщо випробовуванням підлягають N однотипних об’єктів, то необхідно знайти сумарний час справної роботи всіх об’єктів та розділити його на загальну кількість відмов:

(21)

Для найпростішого потоку параметр потоку відмов:

(22)

3. Закони розподілу часу безвідмовної роботи

Через те, що процес виникнення відмов ЕА має випадковий характер та залежить від багатьох факторів, отже, і час безвідмовної роботи є величина випадкова, для опису її розподілу в теорії надійності використовують ряд законів. Найбільше розповсюдження отримали закони: Вейбулла, експоненціальний, Релея, нормальний, Пуассона тощо.

3.1 Розподіл Вейбулла

Згідно з цим розподілом, імовірність безвідмовної роботи в інтервалі 0, t запишеться:

(23)

де b - параметр розподілу.

Звідси функція частоти відмов:

(24)

а середній час безвідмовної роботи:

(25)

де

табульована повна гамма-функція.

Цьому закону достатньо добре підпорядковується розподіл відмов в апаратурі, яка має велику кількість однотипних неремонтованих елементів (резистори, напівпровідникові прилади тощо).

З вищенаведених залежностей ймовірності безвідмовної роботи та частоти відмов знаходимо інтенсивність відмов:

(26)

Наведемо залежності функцій, які побудовані за формулами (23); (24) та (26) для випадків, коли параметр розподілу b>1 і b<1:

Рисунок 4 - Залежність Р (t),λ (t) та f (t) при розподілі часу безвідмовної роботи за законом Вейбулла: - - - b<1; b>1

3.2 Експоненціальний розподіл

Цей розподіл можна розглядати як окремий випадок розподілу Вейбулла при b=1. Тоді, скориставшись формулами розподілу Вейбулла, запишемо: частота відмов:

(27)

ймовірність безвідмовної роботи:

(28)

інтенсивність відмов:

(29)

напрацювання до першої відмови:

Підставивши в формулу ймовірності безвідмовної роботи значення інтенсивності відмов λ=1/Т_о, отримаємо:

При t=T_o отримаємо

При експлуатаційному розподілі математичне сподівання випадкової величини

дорівнює середньоквадратичному відхиленню, тобто:

Експоненціальний розподіл типовий для більшості складних апаратів, які містять велику кількість неремонтованих елементів та мають здебільшого раптові відмови. Експоненціальний розподіл застосовують також до апаратів, які відновлюються, з найпростішим потоком відмов. Наведемо залежності Р (t),λ (t) та f (t) при розподілі часу безвідмовної роботи за експоненціальним законом:

Рисунок 5 - Залежності Р (t),λ (t) та f (t) при розподілі часу безвідмовної роботи за експоненціальним законом

3.3 Розподіл Релея

Цей розподіл достатньо повно описує поведінку ряду приладів та елементів ЕА з явно виявленим ефектом старіння та зносу. Ймовірність безвідмовної роботи записується при цьому у вигляді:

(30)

де С - параметр закону розподілу.

Щільність ймовірності моменту відмови при цьому записується у такому вигляді:

(31)

Інтенсивність відмов:

(32)

Середнє напрацювання на відмову:

(33)

Залежності Р (t),λ (t) та f (t) при розподілі часу безвідмовної роботи за законом Релея наведені на рис.6:

Рисунок 6 - Залежність Р (t),λ (t) та f (t) при розподілі часу безвідмовної роботи за законом Релея

3.4 Закон нормального розподілу

Цей розподіл широко використовується в теорії ймовірності, а також і в теорії надійності. Даний закон описує надійність апаратів, для яких типовий знос, при цьому всі відмови однорідні за якістю та мають малий розкид зносу. Час ремонту апаратури, а також сумарне напрацювання апарата до ремонту інколи також мають бути описані нормальним законом розподілу.

Щільність ймовірності моменту відмови у цьому випадку має такий вигляд:

(34)