Типовой алгоритм синтеза комбинированной системы автоматического управления (стр. 2 из 5)

Подставляя рассчитанные значения в формулу (1.3), получаем вторую математическую модель ОУ:

Для нахождения передаточной функции по методу Лукаса определяем следующие коэффициенты:

;

Таким образом, получили третью передаточную функцию для возмущающего канала:

Находим погрешности аппроксимации по интегральному критерию:

Выше представленные расчёты показывают, что наименьшую погрешность аппроксимации даёт третья модель, следовательно, она наилучшим образом аппроксимирует экспериментальную характеристику.

2. Выбор ПИ-алгоритма управления

В качестве показателя оптимальности АСР принимается минимум интеграла от квадрата ошибки системы при действии на объект наиболее тяжелого ступенчатого возмущения по регулирующему каналу (интегральный квадратичный критерий) с учетом добавочного ограничения на запас устойчивости системы, т.е.

. (2.1)

Такой критерий допускает значительное перерегулирование

и увеличивает время регулирования, но он обеспечивает наименьшее максимальное динамическое отклонение регулируемой величины.

При практических расчётах запас устойчивости удобно характеризовать показателем колебательность системы М, значение которого в САУ, имеющих интеграл в алгоритме управления, совпадает с максимумом амплитудно-частотной характеристики системы:

(2.2)

где:

w_р – резонансная частота, на которой А_з() имеет максимум.

Чтобы максимум не превышал некоторой заданной величины М, амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) разомкнутой системы W_раз(j) не должна заходить внутрь «запретной» области ограниченной окружностью, центр u_o и радиус R_o которой определяется через М формулами (2.3) и (2.4), (рис. 4):

(2.3)

. (2.4)

Рис. 4. Определение центра и радиуса окружности, соответствующей заданному показателю колебательности М

Если же W_раз(j) касается указанной окружности, то это означает, что САУ находится на границе заданного запаса устойчивости.

На практике чаще всего принимают

. При этом в САУ перерегулирование g £ 30%, максимальное отклонение регулируемого параметра при внутренних возмущениях (возмущениях по регулирующему воздействию) не превышает 10%.

С помощью программы «СС» рассчитываем и строим АФХ объекта по передаточной функции (1.5) (приложение 3). Результаты расчёта приведены в таблице 2:

Таблица 2

	0	0,042	0,082	0,131	0,192	0,255	0,339	0,451	0,599	0,797
А	0,55	0,536	0,5	0,44	35	0,279	0,2	0,136	0,086	0,052
	0	-20	-38,7	-60	-81,7	-100,6	-120,5	-140,4	-160	-179,6
	0,797	1,06	1,409	2,059	3,009
А	0,052	0,031	0,018	0,009	0,004
	-179,6	-199,7	-222	-256,9	-300,7

Также по передаточной функции (1.5) находим АЧХ, ФЧХ и

, которые находятся по комплексному коэффициенту усиления (2.5), который получается из передаточной функции путем замены р на .

3. Расчет параметров ПИ-регулятора по параметрам объекта по регулирующему каналу графоаналитическим методом

Рассчитаем ПИ-алгоритм управления, передаточная функция которого имеет вид:

, (3.1)

а параметрами, подлежащими определению, являются коэффициент усиления К_р и постоянная интегрирования Т_и, для этого используем графоаналитический метод.

1. По АФХ объекта W_об^u-y (jω) строим семейство характеристик разомкнутой системы W_раз(jω) для К_р = 1 и нескольких фиксированных значений постоянной интегрирования Т_и.

Для этого сначала строим несколько векторов характеристики объекта W_об^u-y (jω), например, векторы

для частоты ω₁, для ω₂ и т.д. (приложение 3). К их концам надо пристроить векторы , ,…, , повернутые по отношению к векторам , ,…, на угол 90°. Длина векторов , ,…, выбирается из соотношения (где в числителе – длина вектора АФХ объекта для определённого значения частоты w_i, которую можно измерить непосредственно в миллиметрах; в знаменателе – произведение указанной частоты на фиксированное значение Т_и). Через полученные точки С₁, С₂,…, С_n проводим плавную кривую, которая является характеристикой W_раз1(jω) для выбранного значения Т_и.

Через полученные точки С₁, С₂,…, С_n проводим плавную кривую, которая является характеристикой W_раз1(jω) для выбранного значения Т_и.

Аналогичные построения проводим для других значений Т_и. В итоге получаем семейство характеристик W_раз (jω) для различных значений Т_и.

2. Из начала координат проводим прямую ОЕ под углом b, характеризующим запас устойчивости по фазе и определяемым как:

. (3.2)

3. С помощью циркуля вычерчиваем окружности с центром на отрицательной вещественной полуоси, каждая из которых касается одновременно как прямой ОЕ, так и одной из характеристик W_раз1(jω) (центр каждой окружности и ее радиус находим подбором).

4. Отношение требуемого радиуса R₀, определяемого по формуле (2.3), к полученному в каждом отдельном случае значению r_i показывает, во сколько раз нужно изменить единичный коэффициент передачи регулятора (К_р=1), чтобы каждая характеристика W_раз1(jω) касалась окружности с заданным М, т.е.

. (3.3)

Для вычисления К_{р. пред} использована формула:

, (3.4)

где:

R_о – радиус, определяемый по формуле (2.3);

r – радиус окружности, находящийся методом подбора;

Все результаты вычислений представлены в таблице 3:

Таблица 3

Кр	2,44	3,2	4,1	4,8
Ти	4	5	6	8

5. В результате в плоскости варьируемых параметров алгоритма К_р и Т_и строится граница области заданного запаса устойчивости (приложение 3).

Максимум отношения К_р/Т_и, определяющего оптимальную настройку регулятора при низкочастотных возмущениях, соответствует точке пересечения касательной с границей заданного запаса устойчивости, проведённой через начало координат.

Передаточная функция регулятора, после определения координат точки А (К_р.опт = 4,5 и Т_{и опт} = 6,55), имеет вид: