Распространение волн в световодах (стр. 2 из 4)
Соотношение (14) показывает, что волна во второй среде обязательно должна экспоненциально затухать вдоль оси OX. Глубина ее проникновения определяется выражением
.и она уменьшается с увеличением угла падения. Отметим, что d обратно пропорционально частоте и это значительно отличается от зависимости глубины проникновения от частоты для среды с проводимостью (поглощающей среды).
Следовательно, качественно эволюцию физической картины, имеющей место при изменении угла падения Н поляризованной волны на границу раздела двух сред можно представить следующим образом. При
обеих средах возникают плоские однородные волны, распространяющиеся под некоторыми углами к границе раздела. По мере роста q направления распространения и скорости этих волн сближаются и при критическом угле падения 
направления их распространения и скорости становятся равными. Происходит как бы вырождение этих двух волн в одну плоскую однородную волну, распространяющуюся вдоль границы раздела. Поскольку волна однородная, то ее поверхности постоянной фазы и амплитуды совпадают – это плоскости, перпендикулярные границе раздела. Однако при дальнейшем увеличении угла падения (q>qс) часть этой волны, находящаяся во второй (менее плотной среде), начинает претерпевать изменения. Её амплитуда начинает уменьшаться по мере удаления от границы раздела, при этом скорость распространения вдоль границы раздела остается такой же как и в первой среде. Для части волны, находящейся в первой среде такого изменения не происходит – плоскости постоянной амплитуды и фазы по-прежнему совпадают. Таким образом, при 
получаем плоскую неоднородную волну, у которой в части пространства (в первой, более плотной, среде) поверхности постоянной фазы и амплитуды совпадают, а в менее плотной среде эти поверхности ортогональны. Кривые, иллюстрирующие зависимость фазы и амплитуды этой волны для двух углов падения: критического и больше критического, показаны на рис. 4. 
Рис. 4. − Зависимости фазы и амплитуды от координаты x в сечении
z = const при полном внутреннем отражении
2. Металлический световод
2.1 Оптическое приближение (концепция плоских волн)
В этом разделе будет рассмотрен плоский металлический световод, образованный слоем диэлектрика, ограниченного двумя бесконечными, идеально проводящими металлическими плоскостями, параллельными друг другу и оси OZ. Выбор для изучения такого типа световода в какой-то степени ограничит общность результатов, поскольку: во-первых, реальные световоды имеют прямоугольную или круглую форму поперечного сечения, а во-вторых, ограничивающие поверхности как правило не являются металлическими. Однако, такой выбор значительно упростит все вычисления и позволит с наименьшими усилиями понять основные явления в них происходящие, а также проследить взаимосвязь между оптическим и электромагнитных подходами к изучению поля в световодах. (взаимосвязь между результатами, полученными при оптическом и электромагнитном походами к изучению поля в световодах). Более того, нам не понадобится подробное рассмотрение электродинамического подхода. Мы воспользуемся основными результатами, полученными в курсе электродинамики при изучении прямоугольного волновода, положив, что размер узкой стенки “b” стремится к бесконечности. Цилиндрические и другие типы оптических световодов будут рассмотрены в последующих разделах.
Геометрия металлического световода представлена на рис. 5. Он образован двумя бесконечными идеально проводящими плоскостями, уравнения которых таковы: x = ± a. Заполняющая его внутреннюю часть среда – вакуум. Будем рассматривать только Н поляризованные волны в геометрооптической терминологии (Н волны – в электродинамической).
Пусть в пространстве между проводящими плоскостями возбуждена каким-то образом плоская
однородная монохроматическая Н поляризованная волна с длиной волны l.. Волновой вектор лежит в плоскости XOZ и образует с осью z угол q. Назовем такую волну “восходящей”. Вектор параллелен оси Y - имеет только одну составляющую Е1y
.В результате отражения от верхней плоскости появится отраженная (“нисходящая”) волна
,где R – коэффициент отражения.
В любой точке пространства между плоскостями полное поле есть результат интерференции этих двух волн и напряженность электрического поля его определится выражением
. (16) 
Рис. 5. − Металлический планарный (плоский) световод.
В силу граничных условий Еy должна обращаться в нуль при x = ± a. Выполнение граничного условия при x=a позволяет определить R
,а при x = -a приводит к соотношению
, (17)где m – целое положительное число.
Тогда выражение для полного поля запишется следующим образом
. (18)Согласно (18) поле в световоде может существовать в виде набора плоских неоднородных бегущих вдоль оси OZ волн с постоянной распространения
. (19)Каждой волне соответствует свой индекс “m”, определяющий характер распределения амплитуды в поперечной плоскости. Такие волны принято называть распространяющимися модами. Неоднородность их обусловлена тем, что поверхности постоянной амплитуды есть плоскости x =const, а эквифазные поверхности – плоскости z =const. Характер зависимости от координаты x будет различным для четных и нечетных m (рис. 6).
Пусть m четное число, т.е. m =2p, тогда
, p=1,2,3,... (20а)если же m нечетное число (m = (2p-1))
, p=1,2,3,.... (20b)Соотношение (17) можно рассматривать как дисперсионное уравнение. Оно позволяет определить постоянную распространения в световоде в зависимости от частоты и геометрических параметров системы. Из (17) и (19) следует
. (21)В заключение еще раз подчеркнем, что в металлическом световоде электромагнитное поле в общем случае может существовать в виде дискретного множества плоских волн. При этом каждую волну (моду) из этого множества можно рассматривать (трактовать) либо как плоскую неоднородную волну, распространяющуюся вдоль продольной оси OZ с постоянной распространения b (21), либо как плоскую однородную волну, распространяющуюся в световоде, путем многократного отражения от стенок, на которые она падает под углом
, где 
.Изучим более детально свойства указанных волн.
Рис. 6 − К структуре мод в плоском металлическом световоде
2.2 Распространяющиеся и затухающие волны
Пусть частота w задана. Рассмотрим такой вопрос: под какими углами q могут распространяться волны в световоде. Ответ следует из соотношения (17). Если ввести обозначение
, (22)то
. (23)Отсюда видно, что при
в световоде вообще невозможно распространение света (электромагнитной волны), так как при реальных углах q синус должен быть меньше единицы. Частота wс получила название критической частоты. Иными словами, не существует такого угла q, введенная под которым в световод, плоская волна с частотой 
стала бы в нем распространяться. Для каждой моды на заданной частоте существует свой угол, такой, что введенная под этим углом в световод волна будет в нем распространяться в виде соответствующей моды. Эти углы определяются очевидным равенством 
.Зависимости углов q от частоты для различных мод распространения показаны на рис. 7.
Очевидно, что при w = mwс m-ой моде соответствует угол q = p/2 и распространение отсутствует. По мере роста w (при w> wс) угол q уменьшается и в пределе при w®¥ (l®0) стремится к нулю. Волна становится квазиосевой.
Рис. 7. − Зависимость угла падения от частоты для различных мод
Фазовая скорость соответствующей моды определяется соотношением
, (24)а групповая скорость может быть рассчитана по формуле