Распространение волн в световодах (стр. 3 из 4)
. (25)Зависимости 
и
от частоты показаны на рис. 8. 
Рис. 8. − Кривые дисперсии для металлического световода
Видно, что фазовая и групповая скорости мод зависят от частоты. Следовательно, в световоде имеет место дисперсия даже в отсутствии диспергирующей среды. Этот тип дисперсии получил название модовой дисперсии.
Все сказанное выше относилось к случаю w> wс. Выясним теперь, что будет происходить при w < wс. В этом случае согласно (17) sinq > 1, q должно быть мнимой величиной и
(26)Выражение для напряженности поля приобретает вид
.Волна затухает вдоль продольной оси. Глубина проникновения волны в световод равна
. (27)Величина d тем меньше, чем меньше w по сравнению с wс.
Таким образом, под каким бы углом плоская волна не вводилась бы в световод при w < wс распространение будет отсутствовать. Поле проникает в световод в осевом направлении на расстояние порядка d.
Общий итог проведенных исследований следующий. На заданной частоте в световоде может существовать определенной число мод, число которых зависит от геометрических размеров световода. Каждая мода обладает дисперсией. Общее поле будет линейной комбинацией этих мод с коэффициентами, зависящими от условий на концах световода (в частности от конструкции и свойств возбудителя – элемента ввода). При
имеет место одномодовый режим.2.3 Электродинамический подход
волна поляризованный световод диэлектрический
Как уже отмечалось выше изученной задаче полностью соответствует рассмотрение поля в прямоугольном волноводе, у которого размер стенки b ®¥. Из результатов, полученных в курсе электродинамики нетрудно установить, что в рассмотренном световоде могут существовать волны только типа 
. Каждой полученной нами m-ой распространяющейся моде соответствует волна Формулы, описывающие характер распределения поля в поперечном сечении, групповую и фазовую скорости, полностью идентичны полученным нами в оптическом приближении.
Следовательно, подход на основе концепции плоских волн (оптическое приближение) и электродинамический подход дают одни и те же результаты. Переход от одной концепции к другой осуществляется без труда, если учесть, что поперечное волновое число g для волноводных типов волн и угол q связаны соотношением
.В случае металлического световода нет никаких причин отдать предпочтение какому-либо из подходов. Однако при анализе диэлектрических световодов это не так.
3. Диэлектрический световод
3.1 Определение поля внутри световода
Геометрия диэлектрического световода показана на рис. 9. Он предоставляет собой плоскую диэлектрическую пластину толщиной 2а с диэлектрической проницаемостью e1 (показатель преломления n1) и окружен диэлектрическими полупространствами с проницаемостью e1 (показатель преломления n2). Предположим. что e1>e2 (n1 > n2). Такой выбор значений диэлектрических проницаемостей обусловлен тем, что только в этом случае существует полное внутренне отражение о границ раздела сред, подобно тому, что имеет место в металлическом световоде и, кроме того, большая часть энергии (или вся) распространяется вдоль продольной оси z.
Применим такой же метод анализа, что и для металлического световода. Несмотря на схожесть геометрии, результаты анализа должны быть другими, поскольку в случае диэлектрического световода граничные условия отличаются от граничных условий на стенках металлического световода (у последнего они однородные, т.е.
на границах раздела). 
Рис. 9. − Планарный диэлектрический световод
Введем в световод плоскую однородную волну. Её волновой вектор
имеет две компоненты: 
вдоль оси z, 
- вдоль оси x. Во второй среде волновой вектор 
с компонентами 
и 
. Очевидно (ранее это было показано), что должно выполняться равенство 
.Сразу ограничимся случаем когда
, поскольку именно он представляет наибольший практический интерес, и рассмотри м опять только Н поляризованную волну. (Изучение случая Е поляризованной волны рекомендуется провести самостоятельно).Напряженности электрического поля падающей и отраженной волн в первой среде по-прежнему описываются выражениями (16) и (17), а напряженность полного поля (18)
. (30)В среде 2 для преломленного поля соответственно имеем
. (31)В выражениях (30) и (31) – R и T коэффициенты отражения и прохождения соответственно,
,в показателе экспоненты знак “-” – для
, знак “+” – для 
.Полное поле (30) должно удовлетворять граничным условиям (условиям непрерывности при переходе через границу раздела) при
. Учтем вначале ГУ при 
. Поскольку ГУ в данном случае отличаются от ГУ для металлического световода мы не можем воспользоваться результатами из раздела 2. Однако, рассматриваемая ситуация в точности совпадает с той, которая имела место при изучении явления полного внутреннего отражения. Поэтому мы можем использовать все результаты этого раздела. При этом нужно учесть только некоторые отличия чисто геометрического характера: ось x направлена в противоположную; граница раздела смещена из начала координат на величину +a ; угол q отчитывается не от нормали к границе раздела, а от самой границы. Учитывая эти отличия, из (12, 30) получим 
, (32) 
, (33)где
. (34)Удовлетворяя теперь ГУ на нижней границе
, приходим к соотношению 
. (35)Равенство (35) будет иметь место при
. (36)Соотношение (36) является по сути дисперсионным уравнением.
Из (32) с учетом (36) можно записать окончательное выражение для полного поля внутри диэлектрического световода
.Откуда при m четных
, (37а)и при m нечетных
. (37b)Итак, внутри диэлектрического световода, как и внутри металлического, суперпозиция падающей и отраженной волн дает бегущую вдоль оси z плоскую волну и стоячую волну вдоль оси x (или плоскую неоднородную волну распространяющуюся вдоль оси z). Возможны четные и нечетные волны, соответствующие четному или нечетному закону распределения вдоль оси x. По обе стороны световода имеются две бегущие вдоль его границы плоские неоднородные волны, амплитуда которых экспоненциально убывает при удалении от граничной поверхности (рис. 10).
Рис. 10. − Распределение амплитуды поля в поперечном сечении
диэлектрического световода: a) четная волна, b) нечетная волна
3.2 Дисперсионное уравнение. Распространяющиеся моды
Полученное ранее дисперсионное уравнение (36) можно привести к виду
, (38)откуда для четных и нечетных m имеем
если
, то 
. (39)