Распространение волн в световодах (стр. 4 из 4)

Решение его в аналитическом виде невозможно, ибо это трансцендентное уравнение. Однако можно предложить простой и наглядный графический способ его решения, если учесть, что g и a должны удовлетворять условию, которое может быть получено из следующих очевидных соотношений (см. рис. 9)

Откуда искомое условие

. (40)

Графический способ проиллюстрируем для

(рис. 11). Строим зависимость от согласно (39). Для каждой частоты решение должно удовлетворять также (40), т.е. должно лежать на пересечении построенных кривых с окружностью радиуса V, равного

. (41)

Величина V получила название приведенной частоты.

Таким образом, задавая w, находим V, затем определяем точку пересечения с кривой зависимости

от и соответствующее значение . С ростом частоты V увеличивается и, как видно из рисунка 11, увеличиваются и .

Каждое p определяет закон изменения поля вдоль поперечной координаты (37) и величину продольного волнового числа, поскольку ему соответствует свое значение . Каждая такая волна называется модой. Очевидно, что в диэлектрическом световоде на определенной частоте и при определенных размерах его может существовать дискретное множество мод. Каждая мода возникает на частоте при которой окружность впервые пересечет (или коснется) соответствующую кривую на рис. 11, то есть при выполнении условия

(42)

Откуда критическая частота p-ой моды равна

(43)

Величину w_с можно назвать критической частотой данного световода. Физический смысл ее таков – это критическая частота моды с индексом p=1.

Рис. 11. − К решению дисперсионного уравнения

Таким образом, новые моды возникают на частотах

и существуют соответственно при . Для четных мод наблюдается существенное отличие от металлического световода, а именно, существование нулевой моды с p=0. Следовательно, для диэлектрического световода нет нижнего частотного порога.

Все распространяющиеся моды возникают, когда угол q удовлетворяет условию

, т.е. , где угол q_с – критический угол. Иными словами, распространяющиеся моды могут существовать только в случае, когда «первоначальная» плоская волна вводится под углами .

Однако, какая мода (с каким номером) при этом возникает зависит от частоты (43). Возбудившаяся мода будет существовать для всех

. С ростом частоты угол , под которым она распространяется, будет уменьшаться ( при ).

Рассмотрим как изменяется при этом структура и фазовая скорость возникшей моды. Вблизи критической частоты

и . Откуда фазовая скорость её равна , т.е. фазовой скорости во внешней среде. Поскольку , то электрическое поле этой волны не убывает при удалении от границы раздела во вторую среду. В этой среде поле имеет вид однородной плоской волны (рис. 12.а). Мощность, распространяющаяся внутри световода, составляет малую часть от всей мощности волны. С ростом частоты и возрастают.

Рис. 12. − Изменение структуры моды (p=3) в зависимости от частоты

Глубина проникновения поля во вторую среду и угол уменьшаются. Мощность волны концентрируется внутри световода (рис. 12.б). В пределе, когда

, величина также стремится к , а . Волна полностью удерживается в световоде и её фазовая скорость стремится к (рис. 12.в).

Рис. 13. − Дисперсионные кривые для диэлектрического световода

3.2 Дисперсия

Более детальное изучение зависимостей фазовой и групповой скорости от частоты при отсутствии соответствующих аналитических соотношений можно провести качественно, если воспользоваться следующим приемом. Ранее было определено, что для каждой моды фазовая скорость меняется от

до при изменении частоты от критической до бесконечности. Следовательно, если построить зависимости, то они будут выглядеть следующим образом.

Изображенные кривые называют диаграммами дисперсии (кривыми дисперсии). Они позволяют достаточно легко определить зависимости

и от .

Действительно, если, например, взять точку М на кривой, соответствующей основной моде, то ясно, что тангенс угла наклона луча ОМ, равный

, есть не что иное как , а тангенс угла наклона касательной в этой точке есть . На основании рис. 13 нетрудно построить следующие зависимости.

Отметим следующие особенности поведения рассматриваемых величин по сравнению с аналогичными для металлического световода (рис. 8). Обе скорости на

равны , а при стремятся к . Кривые на некоторой частоте имеют точку перегиба (например, при для основной моды). В этой точке производная от по частоте имеет экстремум. Зависимость имеет четко выраженный минимум при частоте соответствующей точке перегиба кривой . Наличие этого минимума можно легко установить, если проследить за углом наклона касательной к кривой на рис. 13. Так, если точка М соответствует частоте , то, очевидно, что касательная совпадает по направлению с прямой . По мере перемещения точки М вправо угол наклона касательной уменьшается. При этом видно, что есть область частот, в которой этот угол меньше, чем у луча , т.е. . Затем при дальнейшем перемещении точки М угол наклона касательной начинает стремится к направлению прямой .

Рис. 14. − Зависимость фазовой и групповой скоростей от частоты.

Частота

соответствует точке перегиба кривой для основной

моды.