Распространение волн в световодах (стр. 1 из 4)
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СВЕТОВОДАХ
1. Падение плоской волны на границу раздела двух сред
Рассмотрим плоскую границу раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями
и 
. Индексы i, r, t – относятся к падающей, отраженной и прошедшей волнам.1.1 Нормальное падение
Для простоты напряженности поля плоской волны будем рассматривать как скалярные величины, подразумевая, что соответствующие векторы направлены так, как показано на рис. 1 (в начальный момент напряженность
направлена в сторону отрицательного направления оси y, а напряженность 
– в сторону положительного направления оси z).Волновые сопротивления и компоненты поля связаны следующими соотношениями
. (1) 
Рис. 1. − Отражение плоской волны от границы раздела двух сред при
нормальном падении
Знак “–“ для отраженной волны появляется вследствие учета изменения направления распространения волны и принятой скалярной формы записи компонент поля.
На границе раздела должны выполняться условия непрерывности касательных составляющих электрического и магнитного полей
. (2)Последние выражения позволяют получить полезное соотношение
.При отражении волны в среде 1 от границы со средой 2 полное волновое сопротивление (волновое сопротивления для полного поля) равно волновому сопротивлению среды 2.
Из (1) и (2) легко получить коэффициенты отражения и прохождения для напряженности электрического поля:
. (3)Учитывая выражения для показателей преломления
получаем классические формулы
, (4)где
.Выражение для вектора Пойнтинга и (3) позволяют получить формулы для коэффициентов отражения и прохождения по мощности
,Прямые вычисления показывают, что
,и это находится в полном согласии с законом сохранения энергии.
1.2 Произвольное падение на границу раздела
В этом случае необходимо рассмотреть два случая: Е – поляризации и Н- поляризации, которые отличаются ориентацией вектора Е падающей волны. При Е поляризации вектор в плоскости падения лежит вектор Е, а при Н поляризации – вектор Н. Однако рассмотрения двух случаев можно избежать, если воспользоваться принципом двойственности для уравнений Максвелла, согласно которому система уравнений Максвелла инвариантна относительно замены
.Этот принцип в нашем случае позволяет:
а) найти коэффициенты отражение и прохождения для магнитных полей, зная эти коэффициенты для электрических полей,
б) получить соответствующие выражения для случая Е поляризации, зная выражения для Н поляризации и наоборот.
Поэтому ниже мы рассмотрим только случай Н поляризации.
Рис. 2. − Наклонное падение плоской волны
Для упрощения процедуры нахождения R и T при наклонном падении плоской волны на границу раздела воспользуемся ещё одним соображением. В случае произвольного падения (рис. 2) можно всегда разложить волну на две плоские волны: одну, распространяющуюся в направлении ” -x”, вторую − в положительном направлении оси z. Для этого достаточно разложить поле Н в плоскости падения (пл. XZ) на две компоненты: Hx и Hz. Первая образует плоскую волну, распространяющуюся вдоль границы раздела и она не претерпевает никакого отражения. Вторая – плоскую волну, нормально падающую на границу раздела (с волновым числом
, согласно рис. 2) и приводящую к появлению отраженной и прошедшей волн. Таким образом, мы опять приходим к нормальному падению и можем воспользоваться уже полученными ранее выражениями. Однако при этом нужно учесть, что для рассматриваемой нормально падающей волны, волновые сопротивления будут определяться уже другими соотношениями, которые имеют следующий вид:Н поляризация
, 
, (5)Е поляризация
, 
, (6) 
Рис. 3. − Зависимость коэффициента отражения от угла падения
Учитывая все сказанное, по (3) и (4) с учетом (5) и (6) получим следующие зависимости коэффициентов отражения и прохождения от углов падения q и преломления j.
Н поляризация
, 
, (7)Е поляризация
, 
. (8)Это и есть классические формулы Френеля, которые мы получили достаточно просто.
Кривые зависимости коэффициентов отражения и прохождения от угла падения приведены на рис. 3.
Из (7), (8) и рис. 3. следуют известные закономерности.
1. Для Е поляризованной волны существует особый угол падения qB, называемый углом Брюстера, при котором коэффициент отражения равен нулю. Это явление часто используют для получения поляризованного света при отражении (в частности, в газовых лазерах с этой целью используют окно Брюстера).
2. В случае нормального падения Н поляризованной волны на оптически более плотную среду (h>1) она приобретает при отражении фазовый сдвиг, равный p.
3. При отражении Н поляризованной волны от поверхности оптически менее плотной среды (h<1) имеет место предельный угол падения qс, при котором выполняется условие
, (9)и который соответствует полному внутреннему отражению, поскольку в этом случае
.Физические процессы, происходящие при углах больших чем q=qс, требуют более тщательного рассмотрения в силу их важности для анализа направленного распространения волн.
1.3 Полное внутреннее отражение
Рассмотрим отражение Н поляризованной волны при q > qс и при h < 1. Из закона Снеллиуса следует, что
, (10)чисто мнимая величина. Положим
, тогда согласно (7) 
, (11)где
, 
. (12)Из (11), (12) следуют два важных вывода
1. При углах падения больших или равных критическому углу qс имеет место полное внутренне отражение.
2. Отраженная волна приобретает фазовый сдвиг, зависящий от угла падения.
Чтобы более прояснить физическую картину происходящего, проанализируем энергетические соотношения. Рассмотрим подробнее волну в среде 2 (рис. 2). Будем считать напряженность электрического поля, вектор которой параллелен оси OY, вещественной величиной. Тогда, опять раскладывая вектор напряженности магнитного поля на две составляющие
и 
получим что 
– вещественная величина, 
- мнимая величинаи соответствующие им компоненты вектора Пойнтинга во второй среде
– вещественный, 
– мнимый.Таким образом, вдоль оси z имеется поток распространяющейся энергии, а вдоль оси x – поток реактивной энергии. Это эквивалентно наличию неоднородной волны, распространяющейся вдоль границы раздела. Эквифазные поверхности этой волны – плоскости, перпендикулярные оси z, а поверхности постоянной амплитуды – плоскости, параллельные оси z. Действительно, для компонент волнового вектора нетрудно получить из рис. 2
, (13) 
. (14)