Анализ режимов автоматического управления (стр. 2 из 3)

Это алгебраический критерий, по которому условия устойчивости сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы. В разной форме этот критерий был предложен английским математиком Е. Раусом и затем швейцарским математиком А. Гурвицем в конце прошлого века. Приведем без доказательства этот критерий в форме Гурвица.

Возьмем характеристический полином, определяющий левую часть уравнения системы,

D (l) = a₀lⁿ+ a₁l^{n - 1} + … + a_n-1l+ a_n (1.13)

где полагаем a₀ > 0, что всегда можно обеспечить умножением при необходимости полинома на - 1. Составим из коэффициентов этого полинома определитель

(1.14)

Этот определитель называется определителем Гурвица. Он имеет п строк и п столбцов. Первая строка содержит все нечетные коэффициенты до последнего, после чего строка заполняется до положенного числа п элементов нулями. Вторая строка включает все четные коэффициенты и тоже заканчивается нулями. Третья строка получается из первой, а четвертая - из второй сдвигом вправо на один элемент. На освободившееся при этом слева место ставится нуль. Аналогично сдвигом вправо на элемент получаются все последующие нечетные и четные строки из предыдущих одноименных строк.

Условие устойчивости заключается в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров.

Развернем критерий Гурвица для нескольких конкретных значений п.

Для n=2

Условия устойчивости:

a₀ > 0; a₁ > 0; a₂ > 0

(к последнему неравенству сводится неравенство D₂ > 0, если учесть предыдущее неравенство а₁ > 0).

Подставляя данные значения в уравнение имеем:

;

Можно сделать вывод, что система устойчивая.

2. Синтез системы "объект-регулятор"

2.1 Расчет оптимальных параметров регуляторов

Согласно заданию, передаточная функция объекта управления имеет вид:

(2.1)

К = 100;

Т₁ = 0,03;

Т₂ = 8.9;

Т₃ = 65;

Ψ = 0,92.

После подстановки числовых значений передаточная функция примет вид:

(2.2)

Далее, находится выражение инверсной расширенной амплитудно - фазовой характеристики объекта.

Согласно

(2.3)

(2.4)

Так как заданное значение Y = 0.92, то по формуле (2.5) определяется значение m (m = 0.402) и подставляем его в предыдущее выражение для расширенной амплитудно-фазовой характеристики.

; (2.5)

(2.6)

Из расширенной амплитудно-фазовой характеристики находятся действительная

и мнимая части.

(2.7)

(2.8)

Перед тем, как определить оптимальные параметры настройки П, ПИ, ПИД регуляторов необходимо определить частоту среза объекта, которая находится из выражения для амплитудно-фазовой характеристики объекта управления. АФХ объекта получается после замены оператора р на jωв заданной передаточной функции объекта.

Таким образом, АФХ примет вид:

; (2.9)

По формуле (2.9), находится АЧХ объекта, на основании которой определяется частота среза.

(2.10)

АЧХ объекта управления имеет вид:

(2.11)

При нулевой частоте значение амплитуды равно 100. Следовательно, w=w_с, откуда по формуле (2.12):

(2.12)

= 0.03*100 = 3.

Таким образом, необходимо решить уравнение:

(2.13)

Корни этого уравнения можно найти любым удобным методом, но при этом необходимо учитывать только положительные вещественные корни.

В данном случае для определения корней уравнения используется математический редактор Mathcad, результат расчета приведен на рисунке 6.

Рисунок 6. Результаты расчета корней уравнения в редакторе Mathcad.

Так как необходимо учитывать только положительные вещественные корни, то решением исходного уравнения являются следующий параметр w=w_c = 0,45 с^-1.

Для определения оптимальных параметров регулятора необходимо решить уравнение (2.14). Приравняв вещественные и мнимые части в уравнении (2.14) к соответствующим параметрам регулятора.

(2.14)

Расчет оптимальных параметров настройки для П - регулятора производится следующим образом:

(2.15)

Из второго уравнения системы определяется w любым удобным способом с учетом положительных вещественных корней и подставляется в первое уравнение системы. В данном случае w = 1,0218 с^-1 и оптимальным параметром настройки П - регулятора является значение К_р^опт =0.972.

Для ПИ-регулятора расчет оптимальных значений параметров настройки производится следующим образом.

Для каждого значения частот от 0 до частоты среза определяются точки С₁С₀ и С₁, соответствующие требуемой степени затухания Y. Оптимальным параметром является точка на линии, равной степени затухания С₁С₀ = f (С₁), лежащая справа от глобального максимума.

Таким образом, для ПИ - регулятора по формуле (2.16) находятся параметры настройки:

(2.16)

(2.17)

Получаем уравнения:

,

Данные для построения графика зависимости С₁С₀=f (С₁) для ПИ-регулятора приведены в таблице 1.

Таблица 1. Данные для определения параметров оптимальной настройки ПИ-регулятора.

w	C0	C1	C0*C1
0	0	-0,01	0
0,01	7,83E-05	-0,00449	-3,5E-07
0,02	0,00031	0,001107	3,43E-07
0,03	0,000691	0,00679	4,69E-06
0,04	0,001217	0,012558	1,53E-05
0,05	0,001884	0,018413	3,47E-05
0,07	0,003619	0,030378	0,00011
0,09	0,005862	0,042686	0,00025
0,1	0,007162	0,048967	0,000351
0,11	0,008575	0,055334	0,000475
0,12	0,010098	0,061785	0,000624
0,13	0,011724	0,068322	0,000801
0,14	0,013451	0,074942	0,001008
0,15	0,015272	0,081648	0,001247
0,16	0,017184	0,088437	0,00152
0,17	0,019183	0,095311	0,001828
0,18	0,021262	0,102269	0,002174
0, 19	0,023419	0,109311	0,00256
0,2	0,025648	0,116436	0,002986
0,21	0,027944	0,123645	0,003455
0,24	0,035194	0,145773	0,00513
0,26	0,040282	0,160941	0,006483
0,28	0,045529	0,17644	0,008033
0,3	0,050899	0, 192269	0,009786
0,32	0,056355	0, 208427	0,011746
0,34	0,061858	0,224913	0,013913
0,36	0,067372	0,241726	0,016286
0,38	0,072858	0,258865	0,01886
0,4	0,078279	0,276328	0,021631

График зависимости С₁С₀=f (С₁) для ПИ-регулятора приведен на рисунке 7.

Рисунок 7. График зависимости С₁С₀ = f (C₁) для ПИ - регулятора

Максимальное значение функции С₁С₀ = 0.07858 при С₁ = 0.6919. Необходимо выбрать точку правее глобального максимума. Следовательно можно взять С₁ = 0.7525, С₁С₀ = 0.748. В результате решения системы уравнений определяются оптимальные параметры настройки

,

Оптимальные параметры настройки для ПИД - регулятора в соответствии с формулой (2.18)

(2.18)

с учетом того, что α=0,1, определяются следующим образом: