Методи перетворення біосигналів та аналіз медико-біологічної інформації (стр. 1 из 3)
МЕТОДИ ПЕРЕТВОРЕННЯ БІОСИГНАЛІВ ТА АНАЛІЗ
МЕДИКО-БІОЛОГІЧНОЇ ІНФОРМАЦІЇ
Сигнал – процес зміни у часі фізичного стану певного об'єкта, який можна зареєструвати, відобразити та передати.
Детерміновані сигнали – сигнали, значення яких у будь-який момент часу повністю відомі, тобто передбачувані з імовірністю, що дорівнює одиниці.
Випадкові сигнали – сигнали, значення яких у будь-який момент часу неможливо передбачити з імовірністю, що дорівнює одиниці.
Періодичним називається будь-який сигнал, для якого виконується умова
,де період Т є кінцевим відрізком, а k – будь-яке ціле число.
Сигнали, що існують в усі моменти часу, називають аналоговими.
Послідовність чисел, що подає сигнал при цифровій обробці, називається дискретним сигналом. Числа, що складають послідовність, є значеннями сигналу в окремі (дискретні) моменти часу й називаються відліками. Переважно відліки беруть через рівні проміжки часу Тд, що мають назву період дискретизації (або крок дискретизації). Величина, зворотна періоду дискретизації, називається частотою дискретизації
,відповідна їй кругова частота
.Процес перетворення відліків сигналу в числа називається квантуванням за рівнем.
Сигнал, дискретний у часі та квантований за рівнем, називають цифровим сигналом.
Динамічним поданням називається спосіб подання сигналів, при якому реальний сигнал приблизно подається сумою деяких елементарних сигналів, що виникають у послідовні моменти часу. Якщо спрямувати до нуля тривалість окремих елементарних сигналів, то границя суми дасть точне подання вихідного сигналу.
Два сигнали u і v називають ортогональними, якщо їх скалярний добуток, а отже, і взаємна енергія дорівнюють нулю:
.Якщо в просторі сигналів задана нескінченна система ортогональних функцій {a1, a2, …, an} з одиничними нормами
це означає, що в просторі сигналів заданий ортонормований базис.
Розкладання сигналу:
,де сk – «проекції» сигналу на координатні вісі, напрямок яких задається функціями hk(t), називається узагальненим рядом Фур'є сигналу s(t) в обраному базисі.
Сукупність коефіцієнтів ряду Фур'є {ck} – спектр сигналу s(t).
Тригонометричний ряд Фур'є:
,де t0 – довільна величина;
– період базисних функцій; 
– кругова частота, що відповідає періоду повторення сигналу Т; частоти, кратні w0, що входять у формулу, називаються гармоніками; 
; 
; 
.Дійсна форма тригонометричного ряду Фур'є:
,де
; 
; 
.Експоненційний ряд Фур'є:
; 
,де
.Сукупність амплітуд гармонік ряду Фур'є називають амплітудним спектром.
Сукупність фаз гармонік ряду Фур'є називають фазовим спектром.
Коефіцієнти ряду залежать тільки від форми одиночного імпульсу s(t) і характеризуються інтегралом:
,який називається спектральна щільність одиночного імпульсу s(t).
Періодичне коливання має дискретний або лінійчатий спектр.
Відношення періоду послідовності прямокутних імпульсів до тривалості імпульсів називають щілинністю.
Амплітудний спектр послідовності прямокутних імпульсів має вигляд функції
, графік якої носить пелюстковий характер.Важливою властивістю спектра послідовності прямокутних імпульсів є те, що у ньому відсутні (мають нульові амплітуди) гармоніки з номерами, кратними щілинності.
Відстань за частотою між сусідніми гармоніками спектра періодичного сигналу дорівнює частоті імпульсів 2p/Т.
Ширина пелюсток спектра послідовності прямокутних імпульсів, виміряна в одиницях частоти, дорівнює 2p/t, тобто зворотно пропорційна тривалості імпульсів.
Часове й частотне подання неперіодичного сигналу, що заданий на інтервалі (-¥, ¥), складає пару перетворень Фур'є:
– зворотне перетворення Фур'є, 
– пряме перетворення Фур'є.Неперіодичні сигнали мають безперервний (суцільний) спектр.
Властивість спектра: чим коротше сигнал, тим ширше його спектр.
Добуток ефективних значень тривалості сигналу й ширини його спектра називається базою сигналу.
Дуальність перетворення Фур'є: якщо парній функції часу f(t) відповідає спектральна функція g(w) (вона буде також парною), то функції часу g(t) відповідатиме спектральна функція 2pf(w).
Прямокутному імпульсу відповідає спектральна функція, що має вигляд sin(w)/w. Отже, спектральна функція сигналу sin(t)/t буде прямокутною.
Перетворення Фур'є є лінійним інтегральним перетворенням, тобто спектр суми дорівнює сумі спектрів або, математичною мовою, лінійна комбінація сигналів має спектр у вигляді такої самої (з тими ж коефіцієнтами) лінійної комбінації їх спектральних функцій.
При затримці сигналу в часі амплітудний спектр цього сигналу не змінюється, фазовий спектр здобуває додатковий доданок, що лінійно залежить від частоти.
Зміна тривалості сигналу приводить до зміни ширини спектра зворотним чином в поєднанні зі збільшенням (при розтяганні, a<1) або зменшенням (при стиску, a>1) рівня спектральних складових.
Спектр похідної отримують шляхом множення спектра вихідного сигналу на jw. Отже, при диференціюванні низькі частоти послаблюються, а високі підсилюються. Фазовий спектр зсувається на 90° для позитивних частот і на – 90° для негативних. Множник jw називають оператором диференціювання сигналу в частотній зоні.
При інтегруванні вихідного сигналу його спектр множиться на 1/(jw). Високі частоти послаблюються, а низькі підсилюються. Фазовий спектр сигналу зсувається на ‑90° для позитивних частот і на 90° для негативних. Множник 1/(jw) називають оператором інтегрування в частотній зоні.
Спектр згортки сигналів дорівнює добутку спектрів.
Спектр добутку дорівнює згортці спектрів. Єдиною додатковою особливістю є множник 1/(2p) перед інтегралом згортки.
При множенні сигналу на гармонічну функцію спектр «роздвоюється» – розпадається на дві складові вдвічі меншого рівня, зсунутих на w0 праворуч (w-w0) та ліворуч (w+w0) за віссю частот. При кожному доданку є множник, що враховує початкову фазу гармонічного коливання.
Спектр дельта-функції є константа, тобто є рівномірним у нескінченній смузі частот.
Спектром константи є дельта-функція частоти.
Крок квантування:
,де Umax – максимальне значення аналогового сигналу на вході АЦП, що не викликає переповнення арифметичного пристрою,
m – кількість двійкових розрядів.
Теорема Котельникова: будь-який сигнал s(t), спектр якого не містить складових із частотами вище wВ=2pfВ, може бути без втрат інформації поданий своїми дискретними відліками {s(k)}, узятими з інтервалом Т, що задовольняє наступній нерівності:
( 
або 
).Частота Найквіста –
.Спектр дискретного сигналу є нескінченним рядом зсунутих на величину частоти дискретизації wд копій спектра вихідного безперервного сигналу s(t), тобто спектр дискретного сигналу періодичний з періодом, що дорівнює частоті дискретизації.
сигнал аналоговий перетворення фур'є
Дискретне перетворення Фур'є (ДПФ):
,де x(k) – відліки дискретного сигналу;
N – кількість відліків дискретного сигналу;
n – номер коефіцієнта ДПФ.
Перехід від дискретного спектра до часових відліків сигналу здійснюється за допомогою зворотного дискретного перетворення Фур'є (ЗДПФ):
.ДПФ є лінійним перетворенням, тобто якщо послідовностям {x(k)} і {y(k)} з періодом N відповідають набори гармонік
і 
, то послідовності {ax(k)+by(k)} відповідатиме спектр 
.