Проект реконструкции АТС 62 69 г Алматы с заменой АТСДШ на цифровую АТС (стр. 18 из 24)

где вероятность «0» определяется с учетом диаграммы переходов Марковской цепи с ожиданием представлена на рисунке 4.1.

Из диаграммы следует, что вызов, поступивший в состоянии {х}, будет

поставлен на k-e место ожидания с вероятностью:

k=1, 2, 3, …, (4.1)

Поэтому вероятность того, что вызов, поступивший в состоянии {х} либо заблокирует последующие вызовы, либо сам встанет на ожидание,

Из условия нормировки следует, что:

откуда

, а с учетом того, что

получим:

Окончательно:

Вероятность найти в состоянии [х] все линии занятыми («вероятность ожидания») или, что то же самое, вероятность того, что время ожидания больше нуля,

После того, как вероятности состояний найдены, перейдем к определению функции распределения времени начала обслуживания вызова.

Пусть Px{y>t) — вероятность того, что для поступившего в состоянии {x} в произвольный момент вызова время ожидания будет больше, чем t. Обозначим через Р_v₊_k(g>t) условную вероятность того же неравенства в предположении, что вызов застал систему на k-м месте ожидания. По формуле полной вероятности:

, (4.2)

где P_v₊_k(g>t)—вероятность того, что за промежуток времени длиной t после момента поступления рассматриваемого вызова произойдет не более k освобождений, поскольку наш вызов начинает обслуживаться после (k+1)-го освобождения, являясь (k+1)-м в очереди в момент своего поступления. Поток освобождений за время ожидания вызова представляет собой простейший поток с параметром хm, так как вероятность того, что не произойдет ни одного освобождения за время t, равна е^-^x^m^t Для простейшего потока с параметром хm вероятность освобождения

не более k вызовов за время t равна

поэтому:

, (4.3)

Подставляя в формулу 4.3 в 4.2 и используя 4.1, получаем:

(4.4)

Выражение 4.4 может быть использовано для расчета времени ожидания начала обслуживания вызова в системах коммутации с внутренними блокировками при условии нахождения СМО в состоянии {х}.Поскольку P_x(g>t)—нормированная величина, из 4.4 легко находятся практически более полезные характеристики—вероятность ожидания начала обслуживания за время более, чем t и среднее время ожидания начала обслуживания:

Для этого рассмотрим алгоритм обслуживания сетевого соединения представлена на рисунке 4.2, который описывается многофазной однолинейной СМО с n ступенями ожидания.

Рисунок 4.2 - Упрощенный алгоритм прохождения очередей при установлении соединения на сети связи

Для нахождения времени ожидания конца обслуживания на каждой ступени воспользуемся моделью однофазной однолинейной СМО вида М/М/1/¥ с учетом того, что оно складывается из времени ожидания начала обслуживания и времени самого обслуживания, которые, в свою очередь, описываются соответствующими функциями распределения

где F(t-)—функция распределения времени ожидания (ФРВО) начала обслуживания; F(p-)—ее изображение (преобразование Лапласа); F(t)—ФРВО самого обслуживания; F(p)—ее изображение; F(l+)—ФРВО конца обслуживания; *—символ свертки, L ^-1—оператор обратного преобразования Лапласа.

Напомним, что

—параметр суммарного потока вызовов, а m_c — параметр (интенсивность) обслуживания потока вызовов ЦУУ на одной ступени ожидания.

Изображение суммарного времени ожидания конца обслуживания в многофазной однолинейной СМО после п-й ступени ожидания находим, используя преобразование Лапласа—Стилтьеса и теорему о свертке

(4.5)

Для нахождения оригинала 4.5 воспользуемся разложением Хевисайда для рациональных алгебраических функций:

где

Алгоритм и программа расчета производительности центрального управляющего устройства приведен в приложении Ж

Пусть на электронную АТС с числом входов N = 17000 поступает пуассоновский поток вызовов с удельной нагрузкой а₀=0,1 Эрл. Средняя продолжительность разговора t₀=3 мин. Требуется определить производительность центрального управляющего устройства при обслуживании внутреннего (местного) соединения при заданной вероятности (не менее 0,95) ожидания конца обслуживания вызова (интервал времени между окончанием набора цифр номера и началом подачи зуммерного сигнала «Контроль посылки вызова» за время 0,6 с.

В обозначениях 4.6 : t=0,6 с; F_N(t₊)=0,95; l = a₀Nm = a₀N/t₀ = 1200 ч ^-1 = 0,33с ^-1; n=1. Подставляя эти значения в 4.6, методом итеративного приближения находим m_c = 5,3 3 с ^-1.

Пример 2. На ту же АТС поступает пуассоновский поток с удельной нагрузкой a₀ = 0,1 Эрл. Средняя продолжительность разговора t₀= 3 мин. Требуется определить время окончания обслуживания вызова сетевого соединения, при котором вероятность прослушивания зуммерного сигнала «Контроль посылки вызова» из последней в цепочке соединений ЭАТС будет не менее 0,95. Число ЭАТС в цепочке соединений принять равным n = 7, все ЭАТС идентичны, производительность ЦУУ каждой ЭАТС m_c =5,33 с ^-1.

В обозначениях выражения 4.6: F_N(t₊)=0,95; n=7; l=a₀Nm=0,33c ^-1; m_c =5,33с ^-1. Подставляя эти значения в 4.6, методом итеративного приближения находим t =2,37 с.

Таким образом, с вероятностью 0,95 внутреннее (местное) соединение (n=1) устанавливается за 0,6с, а внешнее (исходящее) при числе транзитов n=7—через 2,37с. Если же на вход СМО будут поступать заявки только от одного источника (абонента), т. е. если l = 0, то очередь на ожидание начала обслуживания исчезнет и время ожидания конца обслуживания вызова будет определяться только временем обслуживания, поэтому F(t)= 1 — е^-^m^ct;

Поэтому:

(4.6)

Пример 1. На электронную АТС с числом входов N = 17000 поступает пуассоновский поток вызовов с удельной нагрузкой а₀=0,1 Эрл. Средняя продолжительность разговора t₀=3 мин. Требуется определить производительность центрального управляющего устройства при обслуживании внутреннего (местного) соединения при заданной вероятности (не менее 0,95) ожидания конца обслуживания вызова (интервал времени между окончанием набора цифр номера и началом подачи зуммерного сигнала «Контроль посылки вызова» за время 0,6 с.

В обозначениях 4.6: t=0,6 с; F_N(t₊)=0,95; l = a₀Nm = a₀N/t₀ = 1200 ч ^-1 = 0,33с ^-1; n=1. Подставляя эти значения в 4.6, методом итеративного приближения находим m_c = 5,3 3 с ^-1.

В обозначениях 4.6: F_N(t₊)=0,95; n=7; l=a₀Nm=0,33c ^-1; m_c =5,33с ^-1. Подставляя эти значения в 4.6 методом итеративного приближения находим t =2,37 с. Таким образом, с вероятностью 0,95 внутреннее (местное) соединение (n=1) устанавливается за 0,6с, а внешнее (исходящее) при числе транзитов n=7—через 2,37с. Если же на вход СМО будут поступать заявки только от одного источника (абонента), т. е. если l = 0, то очередь на ожидание начала обслуживания исчезнет и время ожидания конца обслуживания вызова будет определяться только временем обслуживания, поэтому F(t)= 1 — е^-^m^ct;