Переходные процессы в линейных электрических цепях (стр. 6 из 9)
В соответствии с (3.16), имеем:
(3.18)
.Производную напряжения на индуктивности найдем после дифференцирования уравнения (3.17) и рассмотрения его на момент t=0.
На момент t=0, имеем
Таким образом, первые производные для рассматриваемого случая:
4. Принужденные составляющие и их первые производные на момент t=0.
В цепи образовавшейся после коммутации (Рис.3.1), через какое-то время конденсатор зарядится до уровня приложенного напряжения
, ток в цепи прекратится, т.к. постоянный ток через емкость не проходит. Принужденные составляющие и их первые производные соответственно будут равны: 
5. Постоянные коэффициенты a и b определяются по общей формуле:
.
6. Характеристическое уравнение и его корни.
Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению второго порядка (3.4), получим из комплексного входного сопротивления цепи Рис.3.1 путем формальной замены j*w®P.
Приравняв к нулю Z(P) и выполнив очевидные преобразования, получим характеристическое уравнение (3.6), корни которого зависят от конкретных значений RLC-элементов рассматриваемого контура Рис.3.1.
(3.20)В данном случае корни (3.20) определяются по формулам:
где - коэффициент затухания свободной составляющей;
- резонансная частота последовательного контура Рис.3.1;
- постоянная величина.
Как было сказано выше, в цепях второго порядка, в зависимости от вида корней характеристического уравнения (3.19), после коммутации может возникнуть один из трех возможных режимов: апериодический, критический или колебательный.
Найдем закон изменения напряжений на пассивных элементах цепи Рис.3.1 при подключении ее к источнику постоянного напряжения при нулевых начальных условиях для упомянутых случаев.
3.3.1 Апериодический режим
Апериодический режим наступает, если корни характеристического уравнения (3.20) действительные и разные, а это возможно если
где - волновое сопротивление контура;
- добротность контура.Таким образом, в последовательном колебательном контуре (Рис.3.1) апериодический режим наступает при Q<0.5.
В связи с этим при анализе переходных процессов в последовательном колебательном контуре отпадает надобность в составлении характеристического уравнения и определении его корней.
В апериодическом режиме законы изменения тока и напряжений на пассивных элементах описываются формулой (3.13).
Если подставить в (3.13) найденные значения коэффициентов a и b (см. п.5) и выполнить простейшие преобразования, то получим законы изменения напряжений на пассивных элементах последовательного колебательного контура (3.1) в апериодическом режиме:
Для иллюстрации законов изменения напряжений на пассивных элементах последовательного колебательного контура в апериодическом режиме зададимся произвольными значениями E, L, C, , а сопротивление нагрузки Rвыберем таким, чтобы Q<0.5 и по формулам (3.20) рассчитаем и построим соответствующие графики.
Пример таких расчетов приведен на Рис.3.2.
3.3.2 Критический режим
Критический режим в последовательном колебательном контуре наступает, если корни характеристического уравнения действительные и одинаковые, а это возможно, если:
Таким образом, критический режим в последовательном колебательном контуре наступает при Q<0.5.
Законы изменения напряжений на пассивных элементах цепи Рис.3.1 в критическом режиме описываются формулой (3.14).
Если подставить в (3.14) значения a и b (см. п.5) и выполнить простейшие преобразования, то получим: 
Для иллюстрации законов изменения напряжений на пассивных элементах последовательного колебательного контура в критическом режиме выберем значения E, L и C такими как в примере 3.1, а сопротивление нагрузки выберем из условия Q=0.5.
Пример расчетов по формулам (3.21) приведен на Рис.3.3.
Из сравнения рисунков 3.2 и 3.3 следует, что изменения напряжений на резисторе (ток в цепи) в критическом режиме происходят более плавно, чем в апериодическом.
Кроме того, в критическом режиме конденсатор заряжается, примерно, в 2,6 раза быстрее, чем в апериодическом.
Если ограничить длительность переходного процесса в критическом режиме временем tпер=5/d, при котором UC(tпер)=0.96*E, то возникает возможность синтеза последовательного колебательного контура в заданной длительностью переходного процесса в критическом режиме.
Пусть задано сопротивление нагрузки R в цепи рис.3.1, которая подключается к источнику постоянного напряжения при нулевых начальных условиях. Необходимо найти такие значения L и C, при которых в цепи возникает критический режим, длительность которого должна составлять tпер.Решение. В критическом режиме tпер=5/d;
Совместное решение этих уравнений дает формулы для расчета потребных значений индуктивности и емкости 
3.3.3 Колебательный режим
Колебательный режим в последовательном колебательном контуре возникает, если корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные, а это возможно если
В этом случае
где - частота свободных колебаний.
В колебательном режиме законы изменения напряжений на пассивных элементах контура определяются по формуле (3.15).
Подстановка коэффициентов a и b (3.19) в формулу (3.15) дает законы изменения напряжений на пассивных элементах контура Рис.3.1:
. 
Для иллюстрации законов изменения напряжений на пассивных элементах последовательного колебательного контура в колебательном режиме (3.22) выберем значения E, L и C такими же, как в примерах 3.1 и 3.2, а сопротивление нагрузки выберем из условия Q=5.
Пример расчетов по формулам (3.22) приведен на Рис.3.4.
Из анализа изложенного следует, что при Q>0.5 в последовательном контуре Рис.3.1 возникают затухающие колебания, при которых происходит непрерывный обмен энергией между индуктивностью и емкостью.
Затухание свободных колебаний происходит вследствие необратимых потерь энергии в активном сопротивлении R.
Длительность переходного процесса в колебательном режиме определятся коэффициентом затухания
Чем больше Q, т.е. чем меньше R, тем дольше продолжается переходной процесс.
Частота свободных колебаний всегда меньше резонансной частоты контура
и при