Переходные процессы в линейных электрических цепях (стр. 7 из 9)
Из Рис.3.4 видно, что напряжение на емкости в начале переходного процесса почти в два раза превышает приложенное напряжение, что необходимо учитывать при выборе пробивного напряжения конденсатора.
Таким образом, режим переходного процесса в колебательном контуре, при подключении его к источнику постоянного напряжения, целиком определяется комбинацией значений RLC-элементов:
При Q<0.5 - в цепи после коммутации наступает апериодический режим;
при Q=0.5 - критический режим;
при Q>0.5 - колебательный режим.
Глава 4. Операторный метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
4.1 Общие сведения
В предыдущих главах был изложен классический метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях.
Такие процессы описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Для их решения классическим методом необходимо определить постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий. По мере усложнения электрических схем и возрастания порядка дифференциальных уравнений трудности, связанные с нахождением постоянных интегрирования, увеличиваются.
Решение упомянутых уравнений может быть выполнено операторным методом, где не требуется дополнительно определить постоянные интегрирования.
При использовании операторного метода действительные функции времени, называемые оригиналами, заменяются их операторными изображениями. В результате чего исходные дифференциальные уравнения заменяются алгебраическими; затем после решения алгебраических уравнений производится обратный переход в область функций действительного переменного.
Связь между оригиналом f(t) и его изображением устанавливается прямым преобразованием Лапласа:
гдеP = s + j*w- комплексное число.
Из определения изображения (4.1) следует, что каждый оригинал имеет единственное изображение. В свою очередь, оригинал вполне определяется своим изображением.
Фразу «оригинал f(t) имеет своим изображением F(P)» принято записывать в виде знака соответствия : 
илиСуществует обратное функциональное преобразование, дающее возможность определить оригинал по его изображению (4.1):
Формула (4.2) называется обратным преобразование Лапласа.
4.2 Изображения простейших функций
При исследовании переходных процессов в электрических цепях чаще всего возникает необходимость в определении изображений единичной функции l(t), линейной функции a*t, экспоненциальной функции
, синусоидальной и косинусоидальной функции, их производных и интегралов.Единичная функция задается условием:
Изображение единичной функции:
Изображение постоянной величины E:
Изображение линейной функции:
Изображение экспоненты:
Изображения тригонометрических функций:
Изображение производной от функции f(t):
Изображение интеграла от функции f(t):
Операция дифференцирования оригинала заменяется операцией умножения на P изображения, а операция интегрирования оригинала заменяется операцией деления изображения на P.
4.3 Операторное сопротивление. Закон Ома в операторной форме
Рассмотрим вначале пассивные RLC-элементы и определим их операторные сопротивления.
Пусть через индуктивность при нулевых начальных условиях i(0)=0 протекает ток i(t), изображение которого I(P).
По закону электромагнитной индукции напряжение на индуктивности:
Умножим обе части этого равенства на множитель
и выполним прямое преобразование Лапласа: 
По теореме дифференцирования оригинала, при i(0)=0, получим:
Отсюда получаем выражение для операторного сопротивления индуктивности:
(4.3)
Рассмотрим теперь емкость C, которая при нулевых начальных условиях подключается к источнику напряжения UC(t), изображение которого UC(P).
Ток и напряжение на емкости связаны уравнением:
Применим к левой и правой частям этого выражения прямое преобразование Лапласа, в результате получим:
Отсюда находим операторное сопротивление емкости:
.Рассмотрим теперь последовательный колебательный контур Рис.3.1, который при нулевых начальных условиях подключается к источнику
, изображение которогоE(P).По второму закону Кирхгофа можем записать (3.17):
(4.5)Применим к этому уравнению прямое преобразование Лапласа, в результате, с учетом (4.3) и (4.4), получим:
(4.6)или
где - операторное сопротивление последовательного колебательного контура.
Формула (4.6) представляет собой закон Ома в операторной форме. Нетрудно заметить, что структура операторного и комплексного сопротивлений подобны по форме:
Для перехода от комплексного сопротивления к операторному достаточно заменить j*w на P.
Сопротивление цепи в операторной форме есть новая более общая форма сопротивления, которая может применяться для решения задач, относящихся к любому режиму цепи при любой форме внешнего воздействия. Тогда как комплексное сопротивление применимо лишь при синусоидальном воздействии на цепь.
Наряду с операторным сопротивлением применяется операторная проводимость, которая, по определению, является величиной обратной сопротивлению.
4.4 Законы Кирхгофа в операторной форме
Первый закон Кирхгофа для мгновенных значений токов в узле электрической цепи:
Полагая, что каждый ток, входящий в узел или выходящий из него, имеет свое изображение Ik(P), получим первый закон Кирхгофа в операторной форме:
который формулируется так: алгебраическая сумма изображений токов в узле электрической цепи равна нулю.
Соответственно второй закон Кирхгофа для любого замкнутого контура
где ek(t), Uk(t) - мгновенные значения э.д.с. и напряжений на пассивных элементах данного замкнутого контура, записывается в операторной форме:
Естественно, что при составлении уравнений по законам Кирхгофа в операторной форме необходимо задаться положительными направлениями всех токов и э.д.с., а также соблюдать все правила при составлении уравнений по законам Кирхгофа для действительных функций времени.
4.5 Эквивалентные операторные схемы
Вышеприведенные формулы (4.7) и (4.8), выражающие законы Кирхгофа в операторной форме справедливы при нулевых начальных условиях:
iL(0)=0 и UC(0)=0.
Если до возникновения переходного процесса цепь обладала запасом энергии в виде электрического и магнитного полей, то, естественно, этот запас энергии необходимо учесть при составлении операторных уравнений. Надо ожидать, что законы Ома и Кирхгофа в этом случае изменяются в своей записи и примут более общую форму, из которой, как частный случай, должны вытекать формулы для нулевых начальных условий.