Переходные процессы в линейных электрических цепях (стр. 8 из 9)
При ненулевых начальных условиях формула (4.3) принимает следующий вид:
гдеi(0) - ток через индуктивность в момент коммутации (t=0).
Этому операторному уравнению соответствует следующая эквивалентная операторная схема замещения (Рис.4.1)
 |
 |  |
Рис. 4.2. Исходная а) и в) эквивалентная операторная схема замещения емкости
- внутренний источник напряжения, направление которого противоположно направлению тока.Расчет переходных процессов операторным методом сводится к выполнению следующих операций:
· вместо источников напряжений, оставшихся в цепи после коммутации, вводятся их операторные изображения e(t) ®E(P);
· вместо всех искомых токов и напряжений на пассивных элементах вводятся пока неизвестные их изображения:
· вместо индуктивности и емкости рисуются их операторные схемы замещения, как показано на Рис.4.1 и Рис.4.2; при этом комплексные сопротивления заменяются операторными, а при ненулевых начальных условиях в операторную схему замещения вводятся внутренние источники напряжений
Активное сопротивление
остается без изменений.Искомые изображения токов и напряжений могут быть определены любым известным методом расчета установившихся режимов (по законам Кирхгофа, методом контурных токов и др.).
Рассмотрим, для примера, электрическую схему Рис.4.3а, в которой до коммутации был установившийся режим. В момент коммутации t=0 происходит короткое замыкание резистора R1 и в цепи возникает переходной процесс.
Определим изображения токов в ветвях с индуктивностью и емкостью.
 |  |
а) в)
Рис. 4.3. Исходная а) и ее операторная схема замещения в)
Операторный метод, как и классический, предусматривает, в первую очередь, определить независимые начальные условия.
В исходной схеме до коммутации был установившийся режим, при котором:
Для определения неизвестных изображений токов через индуктивность и емкость составим операторную схему замещения (рис.4.3 в), а затем составим два уравнения по второму закону Кирхгофа: 
где
Отсюда определяем неизвестные изображения токов
(4.11)4.6 Определение оригинала по известному изображению
Из вышеизложенного следует, что по законам Ома и Кирхгофа в операторной форме всегда можно найти изображения искомых токов и напряжений. После этого возникает обратная задача: по известному изображению тока или напряжения, например (4.11), найти соответствующий ему оригинал i(t), т.е. найти закон изменения тока или напряжения в функции времени.
Для нахождения оригинала пользуются готовыми таблицами, которые приводятся в учебниках и справочниках, где приводятся изображения и соответствующие им оригиналы.
Однако, в настоящее время расчет переходных процессов операторным методом можно выполнять с помощью программы Mathcad, которая позволяет производить прямое и обратное преобразование не прибегая в таблицам: laplace, invlaplace.
На нескольких примерах покажем, как производится расчет переходных процессов операторным методом в среде Mathcad.
4.6.1 Расчет переходных процессов в цепях первого порядка операторным методом
Пример 4.1. Рассчитать реакцию цепи RC (Рис.4.4) при воздействии на нее одиночного прямоугольного импульса.
 |
 |
Рис. 4.4. Одиночный прямоугольный импульс с напряжением E и длительностью T воздействует на цепь RC в момент t=0
Для описания единичной функции в среде Mathcad имеется встроенная функция Хевисайда, Ф(t) которая представляет собой источник постоянного напряжения в 1 В.
Одиночный прямоугольный импульс, изображенный на Рис.4.4, описывается так:
U1(t)=E*(Ф(t)-Ф(t-T)).
где Ф(t-T) - функция Хевисайда, смещенная по оси времени вправо на T.
Результаты расчетов переходных процессов в цепи RC, выполненные операторным методом в среде Mathcad, представлены на Рис.4.5.
Сравнение законов изменения напряжений на резисторе и емкости, полученные классическим методом Рис.2.2 и операторным методом Рис.4.5, показывает, что они совпадают.
Пример 4.2. Рассчитать реакцию цепи RC (Рис.4.4) при подключении ее к источнику синусоидального напряжения.
Результаты расчетов представлены на Рис.4.6.
Сравнение Рис.4.6 с рис.2.6 показывает, что они совпадают.
Пример 4.3. Рассчитать реакцию цепи RC (Рис.4.4), если входное напряжение представляет затухающую экспоненту.
Результаты расчетов представлены на Рис.4.7.
4.6.2 Расчет переходных процессов в цепях второго порядка операторным методом
Пример 4.4. Рассчитать переходные процессы в последовательном колебательном контуре (Рис.4.8) операторным методом при подключении его к источнику постоянного напряжения U1(t).
Рис. 4.8. Последовательный колебательный контур при нулевых начальных условиях подключается к источнику напряжения U1(t).
Реакция цепи (Рис.4.8) при подключении ее к источнику постоянного напряжения U1(t)=E представлена на Рис.4.9 и Рис.4.10 для критического и колебательного режимов соответственно.
Сравнение этих рисунков с результатами расчетов, выполненными классическим методом (Рис.3.3 и рис.3.4), показывает, что они совпадают.
Пример 4.5. Реакция цепи RLC (Рис.4.8) при воздействии одиночного прямоугольного импульса (опер ХЕВИСАЙД LRC) показана на Рис.4.11.
ЛИТЕРАТУРА
1. Атабеков Г.И. Основы теории цепей. Учебник для вузов. М., «Энергия», 1969 г. 424с. с ил.
2. Г.В. Зевеке Г.В., П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия» 1975 г. 752с. с ил.
3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи: Учебник для электротехн., энерг., приборостроит. спец. вузов.-8-е изд., перераб. и доп.-М.: Высш. шк., 1984.-559с., ил.