Переходные процессы в линейных электрических цепях (стр. 1 из 9)
МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(государственный технический университет)
ФИЛИАЛ «ВЗЛЕТ»
Кафедра РЭВС
РАЛДЫГИН И.К.
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ
«Основы теории цепей». Часть 3.
Переходные процессы в линейных электрических цепях
Учебное пособие для студентов радиотехнической специальности.
 |
 |
Теоретически считается, что коммутация производится мгновенно.
Установившийся режим работы цепи при заданных и неизменных ее параметрах полностью определяется источником энергии: постоянный ток, переменный ток.
После коммутации, т.е. во время переходного процесса, токи и напряжения в цепи определяются не только внешними, но и внутренними источниками энергии, в качестве которых выступают индуктивности и емкости.
Дело в том, что в режиме, который существовал до коммутации, в катушках и конденсаторах было накоплено определенное количество энергии:
В момент коммутации (t=0) начинается перераспределение энергии между внутренними накопителями и внешними источниками; при этом часть энергии необратимо преобразуется в тепло.
По истечении какого-то времени после коммутации в цепи установится новый режим, который будет обусловлен только внешними источниками энергии. При отключении цепи от внешних источников переходной процесс будет существовать только за счет энергии накопленной в индуктивностях и емкостях, т.е. только за счет внутренней энергии. Новый установившийся режим, в этом случае, будет характеризоваться отсутствием тока в цепи.
Задача анализа переходного процесса заключается в том, чтобы установить по какому закону и как долго будет происходить переход от одного режима к другому.
В соответствии с законом непрерывности энергии напряжение на емкости и ток через индуктивность не могут изменяться скачком, т.к. в этом случае мощность, равная скорости изменения энергии обращалась бы в бесконечность, что физически невозможно.На основании изложенного сформулированы два закона коммутации:
· Заряд и напряжение на емкости в момент коммутации остаются такими же, какими они были непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяются;
· Ток через индуктивность в момент коммутации остается таким же, каким он был непосредственно перед коммуникацией, а затем плавно изменяется.
Математически законы коммутации записываются в следующем виде:
Ток через емкость и напряжение на индуктивности могут изменяться скачком.
1.2 Начальные условия
Значения токов, напряжений и их производных в момент коммутации называют начальными условиями.
Начальные условия подразделяются на зависимые и независимые.
Напряжение на емкости и ток через индуктивность, непосредственно перед коммутацией, называются независимыми начальными условиями, т.к. их значения не зависят от вида и места коммутации и определяются только энергетическим состоянием цепи непосредственно перед коммутацией.
Зависимыми начальными условиями являются токи через емкость и напряжение на индуктивности в момент коммутации. Они зависит от вида и места коммутации и в общем случае, в момент коммутации, могут изменяться скачком.
Независимые начальные условия определяются в цепи до коммутации, а зависимые начальные условия определяются в цепи образовавшейся в момент коммутации.
1.3 Математические основы анализа переходных процессов
Электромагнитные процессы в линейных электрических цепях в установившемся режиме описываются законами Кирхгофа для мгновенных или комплексных значений токов и напряжений.
Для определения законов изменения токов и напряжений в переходном режиме необходимо линейные уравнения, составленные по законам Кирхгофа для мгновенных значений, записать в виде дифференциальных уравнений, а затем решить эти уравнения относительно искомых токов и напряжений.
Таким образом, анализ переходных процессов сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с правой частью.
На практике для решения дифференциальных уравнений применяют классический и операторный методы расчета.
Суть классического метода расчета рассмотрим на конкретном примере.
Пусть задана электрическая цепь из последовательно соединенных RC элементов Рис.1.1.
 |
Рис. 1.1. Цепь RC в момент t=0 при нулевых начальных условиях, Uc(0)=0, подключается к источнику постоянного напряженияОпределим, в общем виде, законы изменения напряжения на емкости и ток в цепи после коммутации.
Решение. При анализе переходных процессов классическим методом необходимо составить уравнения по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. В данном случае можно составить только одно уравнение по второму закону Кирхгофа:
(1.1) 
Поскольку исходное алгебраическое уравнение (1.1) можно записать в дифференциальной форме:
(1.2)
При анализе переходных процессов в качестве искомых функций могут выступать токи и напряжения на пассивных элементах цепи, образовавшейся после коммутации. Для общности обозначений, принятых в математике, условимся в дальнейшем искомую функцию обозначать Y(t).
Тогда дифференциальное уравнение (1.2) можно записать в виде:
(1.3)где
- постоянная времени.Из курса математики известно, что полное решение дифференциального уравнения (1.3) представляется в виде суммы двух составляющих:
(1.4)
где Yпр(t)- принужденная составляющая;
Yсв(t) - свободная составляющая.
Принужденная составляющая искомого тока или напряжения определяется из анализа установившегося режима в цепи, образовавшейся после коммутации, для чего применяются любые известные методы расчета: по законам Кирхгофа, методом контурных токов и др.
Таким образом, принужденная составляющая зависит от вида источника напряжения и параметров цепи, образовавшейся после коммутации.
Свободная составляющая искомого тока или напряжения представляет собой решение уравнения (1.3) без правой части:
(1.5)
а именно:
(1.6)
где
- постоянная интегрирования, которая зависит от начальных условий; 
- корень характеристического уравнения 
(1.7)Свободная составляющая является результатом действия внутренних источников энергии, когда они не уравновешены внешними источниками. Свободная составляющая с течением времени затухает и в пределе стремится к нулю.