Основні поняття та визначення ЕЕГ Ряд та інтеграл Фурє (стр. 3 из 3)

Ряд Фур'є дає розкладання періодичної функції за тригонометричними функціями. Це розкладання може бути узагальнено і на випадок неперіодичної функції. Неточний, але наочний шлях до одержання розкладання Фур'є неперіодичної функції полягає в застосуванні граничного переходу при

. Дійсно, неперіодичну функцію можна розглядати як граничний випадок періодичної функції при необмежено зростаючому періоді. Візьмемо формулу (7) і підставимо в неї значення з (8)

.

Перейдемо до границі, спрямовуючи

. Замість введемо кругову основну частоту

.

Ця частота є частотним інтервалом між сусідніми гармоніками, частоти яких дорівнюють

. При граничному переході зробимо заміну за такою схемою

, , ,

де

– поточна частота, що змінюється безупинно;

– її прирощення.

Сума перейде в інтеграл, і ми одержимо:

, (9)

чи

, (10)

де

. (11)

Формули (10) і (11) є основними формулами теорії спектрів. Вони являють собою пари перетворень Фур'є, що пов'язують між собою дві функції: дійсну функцію часу

і комплексну функцію частоти . Формула (10) являє собою інтеграл Фур'є в комплексній формі. Зміст цієї формули полягає в тому, що функція представлена сумою синусоїдальних складових. Але функція передбачається неперіодичною, тому вона може бути представлена тільки сумою нескінченно великого числа нескінченно малих коливань, нескінченно близьких за частотою. Комплексна амплітуда кожного окремого коливання нескінченно мала, вона дорівнює

. (12)

Частотний інтервал між двома сусідніми коливаннями також нескінченно малий; він дорівнює

.

Якщо ряд Фур'є являє собою періодичну функцію сумою хоча і нескінченного числа синусоїд, але з частотами, що мають визначені дискретні значення, то інтеграл Фур'є подає неперіодичну функцію сумою синусоїд з безперервною послідовністю частот. У складі неперіодичної функції є всі частоти.

Одна з особливостей, що відрізняє інтеграл Фур'є від ряду Фур'є, полягає в тому, що ряд Фур'є подає періодичну функцію як суму періодичних складових, тоді як інтеграл Фур'є – неперіодичну функцію сумою періодичних складових. Отже, у випадку інтеграла Фур'є сумі не притаманні властивості своїх доданків, і цю обставину необхідно враховувати у міркуваннях загального характеру про спектральне розкладання Фур'є.

Зазначимо насамкінець, що формулу (10) можна записати в дійсній формі; тоді інтегрування проводитиметься тільки по позитивних частотах. Увівши позначення

,

одержимо (з огляду на те, що А – парна, а В – непарна функція)

. (13)

Можна одержати ще один запис формули (10), подавши її у вигляді

.

У квадратних дужках поставлена сума сполучених величин, що дорівнює подвоєній дійсній частині. Тому

.