Теория идеальных оптических систем параксиальная или гауссова оптика (стр. 2 из 3)
Для вывода зависимости между положением и размером предмета и изображения воспользуемся рис.7.
подобен 
, следовательно: 
, отсюда 
.Тогда, в соответствии с выражением (1), линейное увеличение можно выразить следующим образом:
. (8)Аналогично, из подобия треугольников
и 
можно получить выражение: 
. (9)Таким образом, увеличение можно выразить как через передние, так и через и задние отрезки. Отсюда можно получить формулу Ньютона:
. (10)Если оптическая система находится в однородной среде (
), то 
, и формула Ньютона получает вид: 
. (11)Выразим z и z΄ через фокусные расстояния и передний (-a) и задний (a΄) отрезки:
.Тогда выражение (11) можно записать в виде:
.После преобразований получим выражение, связывающее фокусные расстояния и передний и задний отрезки (формула отрезков или формула Гаусса):
. (12)Угловое увеличение и узловые точки
Теперь рассмотрим угловое увеличение, опять воспользовавшись рис.7. Из
, видно, что: 
, отсюда 
.Аналогично можно вывести выражение:
.Теперь можно выразить угловое увеличение через передний и задний отрезки:
(13)Выразим z΄ из формулы Ньютона (5.14), тогда после преобразований получим выражение для вычисления углового увеличения:
(14)Из выражения (14) следует, что если выбрать плоскости предмета и изображения таким образом, что
и 
, то в точках пересечения этих плоскостей с осью угловое увеличение равно единице. Такие точки называются узловыми точками.Чтобы найти узловые точки N и N΄, от переднего фокуса откладывается заднее фокусное расстояние, а от заднего фокуса откладывается переднее фокусное расстояние (рис.8). Отрезки NN΄ и HH΄ равны. Если
( 
), то узловые точки совпадают с главными. 
Рисунок 8 – Узловые точки
Следствием выражений (5.13) и (5.18) является следующее соотношение:
(15)Частные случаи положения предмета и изображения
Рассмотрим различные положения предмета и изображения (различные z и z΄):
-
. Тогда 
, линейное увеличение 
, следовательно, предмет и изображение – это главные плоскости. Угловое увеличение 
.-
. Тогда , угловое увеличение W=1, следовательно, предмет и изображение – это узловые точки. Линейное увеличение 
.-
. Тогда 
, линейное увеличение 
, угловое увеличение 
, следовательно, предмет находится на двойном фокусном расстоянии, то есть расстояние между предметом и изображением минимально.-
. Тогда 
, линейное увеличение 
, угловое увеличение 
, следовательно, предмет находится в переднем фокусе, а изображение – в бесконечности.-
. Тогда 
, линейное увеличение 
, угловое увеличение 
, следовательно, предмет находится на бесконечности, а изображение – в заднем фокусе.Связь продольного увеличения с поперечным и угловым
Рисунок 9 – Связь продольного увеличения с поперечным и угловым
Рассмотрим рис.9. Длину отрезков l и l΄ можно выразить следующим образом:
.По определению продольного увеличения:
.После преобразований, получим:
(16)где β и β1 – поперечные (линейные) увеличения в точках A΄ и A1΄.
Или, :
. (17)Теперь рассмотрим продольное увеличение для бесконечно малых отрезков (
) (по определению это и есть продольное увеличение). В этом случае линейное увеличение в точках A΄ и A΄1 будет одинаковым, следовательно: 
. (18)Из выражения (16) можно получить:
(19)Если оптическая система находится в однородной среде (
), то: 
. (20)То есть продольное увеличение равно квадрату линейного увеличения, а угловое обратно пропорционально ему.
Диоптрийное исчисление
Диоптрийное исчисление – это измерение продольных отрезков в обратных единицах (диоптриях):
где
– приведенная длина.Одна диоптрия соответствует приведенному отрезку в 1м. Если отрезок измеряется в мм, то обратный отрезок измеряется в килодиоптриях.
Используя формулу отрезков (5.16) и выражение (5.9) можно получить важное соотношение для приведенных отрезков в пространстве предметов и изображений и оптической силы, измеряемых в диоптриях:
или
(21)где D и D΄ – приведенные передний и задний отрезки в диоптриях. То есть оптическая система увеличивает приведенный отрезок в пространстве изображений (в дптр) на величину оптической силы.
5.3.6 Инвариант Лагранжа-Гельмгольца
Инвариант Лагранжа-Гельмгольца связывает линейный размер предмета и угловой размер пучка лучей (рис.10). Эта величина инвариантна, то есть неизменна в любом пространстве.
Рисунок 10 – Величины, которые связывает инвариант Лагранжа-Гельмгольца