Розрахунок та оптимізація характеристик дискретної системи електрозвязку (стр. 3 из 4)

- тип неперервного каналу зв'язку – з постійними параметрами та адитивним білим гауссовим шумом;

- допустима ймовірність помилки двійкового символу на виході декодера p_б = 5,714∙10^-7;

- відношення сигнал/шум на вході демодулятора

=13,75 дБ, що забезпечує допустиму ймовірність помилки р_б = 5,714∙10^-7 в каналі без завадостійкого кодування;

- тривалість двійкового символу на вході кодера коректуючого коду Т_б = 3,333∙10^-3 с.

Вимагається:

- вибрати і обгрунтувати параметри коду, що забезпечує необхідний ЕВК: довжину коду n, число інформаційних символів k і кратність виправлюваних помилок q_в;

- розрахувати залежність імовірності помилки символу на виході декодера від відношення сигнал/шум на вході демодулятора р_д=f₁(

) при використанні вибраного коду;

- визначити одержаний ЕВК та порівняти його з необхідним.

Розрахункові співвідношення

Коректуючі коди дозволяють підвищити завадостійкість і завдяки цьому зменшити необхідне відношення сигнал/шум на вході демодулятора при заданій імовірності помилки прийнятих символів. Величина, що показує в скільки разів (на скільки децибел) зменшується необхідне відношення сигнал/шум на вході демодулятора, завдяки використанню кодування, називається енергетичним виграшем кодування (ЕВК).

Канали зв'язку з завадостійким кодуванням і без нього зручно порівнювати, якщо в якості відношення сигнал/шум використати відношення середньої енергії сигналів, що витрачається на передачу одного інформаційного символу, до питомої потужності шуму

=Р_ST_б/N₀.

Так, якщо в каналі зв'язку без кодування необхідне відношення сигнал/шум для забезпечення заданої ймовірності помилки дорівнює

, а в каналі зв'язку з кодуванням – , то ЕВК буде визначатися

D=

/ або D [дБ]= [дБ] – [дБ].(5.1)

При декодуванні з виправленням помилок імовірність помилкового декодування кодових комбінацій Р_пд визначається за умови, що число помилок в кодовій комбінації на вході декодера q перевищує кратність помилок, що виправляються q_в:

,(5.2)

де Р(q)=

p^q (1 – p) ^{n - q}(5.3)

– імовірність помилки кратності q;

(5.4)

– число сполучень із n по q;

р – імовірність помилки двійкового символу на вході декодера, розрахунок якої для гауссового каналу зв'язку з постійними параметрами розглянутий в розд. 4. В використаних там формулах замість

підставляємо k/n – враховуючи зменшення тривалості символів із-за введення в кодові комбінації додаткових символів при кодуванні і відповідне зменшення енергії сигналу на вході демодулятора.

Для переходу від ймовірності Р_пд до ймовірності помилки двійкового символу на виході декодера р_д достатньо врахувати принцип виправлення помилок декодером: декодер заборонену кодову комбінацію замінює найближчою дозволеною. Тому, якщо число помилок в комбінації q > q_в, але q £ d_min, то в результаті декодування комбінація буде містити d_min помилок (d_min – кодова віддаль). Оскільки помилки більш високої кратності малоймовірні, то остаточно можна вважати, що в помилково декодованій комбінації є d_min помилкових символів. У коректуючих кодів кодова віддаль d_min³ 2q_в + 1. Оскільки при помилковому декодуванні кодової комбінації 2q_в + 1 символ із n помилковий, то перехід від Р_пд до р_д виконується за формулою

р_д = Р_пд (2q_в + 1)/n.(5.5)

Зв'язок між основними параметрами двійкових коректуючих кодів n, k і q_в встановлює верхня межа Хеммінга

2^{n – k} – 1 ³

.(5.6)

Для досконалих кодів нерівність (5.6) переходить в рівність і при цьому мінімізується число додаткових символів n – k при фіксованих значеннях n і q_в. Широке розповсюдження дістали циклічні коди Боуза-Чоудхурі-Хоквінгема (БЧХ). За параметрами вони близькі до досконалих кодів і разом з тим вимагають відносно простих схем кодерів та декодерів. У кодів БЧХ основні параметри пов'язані співвідношеннями:

k = n – mq_в,(5.7)

де m – найменше ціле, при якому задовольняється нерівність-рівність

m³ log₂(n + 1). (5.7a)

З формул (5.2) – (5.7) слідує, що завадостійкість у каналі зв'язку з кодуванням і ЕВК складним чином залежать від параметрів коду n, k і q_в та відношення сигнал/шум

. Крім того, один і той же ЕВК може бути досягнутий при різних значеннях n, k і q_в.

Перевірка правильності вибору коду

Знайдені параметри коду n, k і q_в слід розглядати як орієнтовні, і правильність вибору коду слід підтвердити розрахунками. Для цього необхідно розрахувати:

* необхідне відношення сигнал/шум на вході демодулятора в каналі зв'язку з завадостійким кодуванням

за формулою (5.1)

D = 1,4;

* імовірність помилки символу на виході демодулятора р за методикою, яка викладена в розд. 6.2, підставляючи замість

в формулу для розрахунку р значення k/n;

* імовірність помилкового декодування кодової комбінації Р_пд за формулами (5.2) – (5.4), у сумі в формулі (5.2) достатньо врахувати першу складову;

* імовірність помилки символу на виході декодера p_д за формулою (5.5).

Робимо розрахунки для 2 кодів з різними параметрами. Результати розрахунків слід оформлюємо у вигляді таблиці, що містить значення q_в, n, k, p, P_пд і р_д.

Таблиця 5.1 ─ Залежність імовірності помилки символу від параметрів коду 1

q	1	1	1	1	1	1	1	1
n	23	23	23	23	23	23	23	23
k	18	18	18	18	18	18	18	18
Pпд	0,855	0,591	0,236	0,037	1,6Е10-03	1,131E-04	5,744E-09	5,092E-14
Рд	0,112	0,077	0,031	4,9Е10-03	2,1Е10-04	1,475E-06	7,493E-10	6,641E-15

Таблиця 5.2 ─ Залежність імовірності помилки символу від параметрів коду 2

q	2	2	2	2	2	2	2	2
n	22	22	22	22	22	22	22	22
k	12	12	12	12	12	12	12	12
p	0,188	0,128	0,074	0,033	9,86Е10-3	1,624E-03	1,062E-04	1,66E-06
Pпд	0,81	0,549	0,219	0,034	1,28Е10-3	6,451E-06	1,844E-09	7,05E-15
Pд	0,184	0,125	0,05	7,76Е10-3	2,91Е10-4	1,466E-06	4,191E-17	1,602E-15

Найкращим вважаємо код з мінімально можливим q_в і найменшим при цьому значенні n, при яких забезпечується заданий ЕВК, – це мінімізує складність кодека. Після вибору коду слід розраховуємо залежність, що характеризує завадостійкість в каналі зв'язку з коректуючим кодом. Для цього змінюємо

в таких межах, щоб величина р_д приймала значення від 0,01 до значень, що дещо меншіза р_б, будуємо залежності р_д1=f₁( ) і р_д2=f₂( )

Рисунок 5.1 ─ Завадостійкість системи передачі з завадостійким кодуванням

Рис. 5.1 характеризує завадостійкість в каналі зв'язку з вибраним кодом. По цій залежності визначаємо необхідні відношення сигнал/шум на вході демодулятора

і , при якому забезпечується допустима ймовірність помилки символу на виході декодера, тобто р_д = р_б. По знайдених значеннях і та одержаному при розрахунку завадостійкості демодулятора значенню визначаємо ЕВК за формулою (5.1) і порівнюємо його з необхідним: