Неодинаковы по точностным характеристикам статические и астати-
ческие САР. В статических САР изменение режима работы (смена равновес-
ного состояния) происходит со статической ошибкой, а в астатических
эта ошибка равна нулю.
Важным признаком классификации является вид обратной связи (ОС).
Различают САР с жесткой и изодромной ОС. Жесткая ОС (положительная или
отрицательная) действует в САР постоянно как в установившемся, так и в
переходном режимах, причем отрицательная ОС при отклонении объекта уп-
равления (или параметра) от равновесного (заданного) состояния вызыва-
ет нейтрализацию этого отклонения (сигнал рассогласования вычитается
из основного сигнала), а положительная - способствует переводу объекта
в другое равновесное состояние (сигнал рассогласования складывается с
основным). Изодромная ОС (гибкая, исчезающая) действует лишь в течение
переходного процесса. Применение ОС вообще, и изодромной в частности,
способствует повышению качества регулирования.
Обратная связь обеспечивает контроль регулируемого (управляемого)
параметра ТП автоматически в масштабе реального времени.
Измеренное с помощью датчика ОС фактическое значение регулируемо-
го параметра сравнивается с заданным (командным). Полученный в резуль-
тате сигнал рассогласования усиливается и является управляющим для си-
лового привода. В системах без ОС нет гарантии, что заданный на входе
сигнал, соответствующий требуемому изменению регулируемого параметра,
будет обработан силовым приводом из-за действия на систему неконтроли-
руемых факторов.
Обратная связь в соответствии с законом регулирования оказывает
существенное влияние на свойства САР, улучшая их.
Любая система описывается нелинейными уравнениями, однако часто
их можно и нужно линеаризовать, т.е. перейти к более простой модели.
Линеаризации бывают обычные, гармонические, статистические и др. Обыч-
ными будем называть линеаризации, основанные на разложении нелинейной
функции в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки и отбрасывании не-
линейных слагаемых.
- 54 -
Математическую модель любой САР называют звеном. Любое стационар-
ное линейное непрерывное звено с двумя входами описывается уравнением
вида: A 4o 0Y 5(n) 0+A 41 0Y 5(n-1) 0+...+A 4n 0Y=
=B 4o 0U 5(m) 0+B 41 0U 5(m-1) 0+...+B 4m 0U+C 4o 0F 5(l) 0+C 41 0F 5(l-1) 0+...+C 4l 0F (25),
где Y 5(i) 0,U 5(i) 0,F 5(i) 0 - i-е производные по времени.
Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции: реакция сис-
темы на несколько одновременно приложенных воздействий равна сумме ре-
акции системы на каждое воздействие в отдельности.
Для уравнения (25) это означает, что если Y(t) - реакция системы,
то при одних и тех же начальных условиях Y(t) =Y 4u 0(t)+Y 4f 0(t) (26).
Благодаря принципу суперпозиции исследование систем с несколькими
входами всегда можно свести к исследованию систем с одним входом. Сис-
тема описывается уравнением вида
A 4o 0Y 5(n) 0+A 41 0Y 5(n-1) 0+...+A 4n 0Y=B 4o 0U 5(m) 0+B 41 0U 5(m-1) 0+...+B 4m 0U (27).
Используя символическую форму записи для операции дифференцирова-
ния - оператор р (оператор дифференцирования), то, по определению
py=dy/dt (28), p 5i 0y=d 5i 0y/dt 5i 0 (29) и, используя р, уравнение (27) можно
представить в виде: A 4o 0P 5n 0Y+A 41 0P 5n-1 0Y+...+A 4n 0Y=B 4o 0P 5m 0U+B 41 0P 5m-1 0U+...+B 4m 0U (30),
или, вынося за скобки Y, U (оператор р можно рассматривать как алгеб-
раический сомножитель, не обладающий свойством коммутативности), полу-
чим уравнение вида Q(p)Y=R(p)U (31), где дифференциальный оператор
Q(p) при выходной величине называют собственным оператором, а диффе-
ренциальный оператор R(p) при входной величине - оператором воздейс-
твия, такая запись удобна при определении передаточных функций.
Передаточной функцией в операторной форме W(p) называется отноше-
ние оператора воздействия к собственному оператору. Согласно определе-
нию, передаточная функция системы (27) имеет вид W(p)=R(p)/Q(p) (32).
Используя W(p), получим уравнение Y=W(p)*U (33).
Если система имеет m входов и m выходов, то для ее описания тре-
буется m передаточных функций. В частности, уравнение (25) в символи-
ческой форме имеет вид Y(t)=W 4u 0(p)U(t)+W 4f 0(p)F(t) (34).
Для системы управления с обратной связью передаточная функция
имеет вид W 4p 0=W 41 0(p)/(1+ W 41 0(p)W 42 0(p)) (35), где W 41 0(p) - передаточная
функция объекта, W 42 0(p) - передаточная функция ОС.
Вид ОС определяет реализуемый в САР закон регулирования. Под за-
коном (алгоритмом) регулирования понимают функциональную зависимость
выходной величины Y регулятора от его входной величины U.
В серийно выпускаемых промышленных П-, ПД-, ПИ-, ПИД-регуляторах
применяют соответственно следующие типовые законы регулирования:
Y=K 4o 0U (36) - пропорциональный закон (П);
Y=(K 4o 0+K 41 0p)U (37) - пропорционально-дифференциальный по 1-й произ-
водной (ПД);
Y=(K 4o 0+K 41 0p+K 42 0P 52 0)U (38) - то же по 1-й и 2-й производным (ПД);
Y=(K 4o 0+B 41 0/p)U (39) - пропорционально-интегральный (ПИ);
Y=(B 41 0/p)U (40) - интегральный (И);
Y=(K 4o 0+K 41 0p+B 41 0/p)U (41) - пропорционально-интегродифференциальный
(ПИД).
Критерии качества - совокупность показателей, позволяющих оценить
качество работы САР. Их можно разделить на две группы: интегральные
критерии (функционалы, численные значения которых служат мерой качест-
ва) и критерии, основанные на задании определенного расположения полю-
сов системы (применяются исключительно для оценки качества линейных
систем). Оценка качества по обобщенному интегральному критерию
T
J= 73 0F(x)dt (42), где F(x) - функция переменных, характеризующих состоя-
0 ние системы.
Для линейных систем большинство оценок можно получить без прямого
интегрирования дифференциальных уравнений САР. При действии на САР
- 55 -
случайных возмущений распространенным критерием качества динамической
точности служит средняя квадратическая погрешность, являющаяся харак-
теристикой рассеивания возможных значений случайной величины относи-
тельно их среднего значения и определяемая как положительное значение
квадратного корня из дисперсии случайной величины.
Наряду с этими оценками при синтезе систем со случайными воздейс-
твиями используют удельный риск, общий риск и другие критерии качест-
ва.
Частотные характеристики.
Если передаточную функцию стационарной системы записать в виде
p=jw (43), то функция вида
W(jw)=(B 4o 0(jw) 5m 0+B 41 0(jw) 5m-1 0+...+B 4m 0)/(A 4o 0(jw) 5n 0+A 41 0(jw) 5n-1 0+...+A 4n 0) (44) будет
частотной передаточной функцией. Ее можно представить в виде
W(jw)=U(w)+jV(w)=A(w)e 5jF(w) 0 (45), A(w)= 7? 0(U 52 0(w)+V 52 0(w)) (46),
F(w)=argW(jw) (47). На комплексной плоскости частотная передаточная
функция определяет вектор ОС, длина (модуль ) которого равна A(w), а
угол, образованный этим вектором с действительной положительной полу-
осью, равен F(w). Кривая, которую описывает конец этого вектора при
изменении частоты от нуля до бесконечности, называется амплитудно-фа-
зо-частотной характеристикой (АФЧХ).
──────────────────────────────────────────────────────────────────────
│jV
│
│ U(w)
─────────────┼───────┬─────────
0│\ F(w) │ U
│ \ │
│ \ │
V(w)├──────\C
│
Рис. 11. АФЧХ
──────────────────────────────────────────────────────────────────────
Действительную часть U(w)=ReW(jw) (48) и мнимую часть
V(w)=ImW(jw) (49) называют соответственно вещественной и мнимой час-
тотными функциями. График вещественной частотной характеристики (кри-
вая U=U(w) при изменении w от 0 до бесконечности) называют веществен-
ной частотной характеристикой, а график мнимой частотной функции -
мнимой частотной характеристикой. Модуль A(w)=│W(j)│ - амплитудная
частотная функция, а ее график - амплитудная частотная характеристика.
Аргумент F(w)=argW(jw) называют фазовой частотной функцией, а ее гра-
фик - фазовой частотной характеристикой. Установим, какой физический
смысл имеют частотные характеристики. Если на вход устойчивой линейной
стационарной системы подается гармонический сигнал u=a*sin(wt), то на
ее выходе после окончания переходного процесса устанавливается гармо-
нический процесс с амплитудой в и фазой, сдвинутой относительно фазы
входного сигнала на угол f. Амплитуда в и сдвиг фазы f зависят от час-
тоты входного сигнала и свойства системы. Кроме того, амплитуда в за-
висит еще от амплитуды входного сигнала. Но отношение в/а не зависит
от амплитуды а. Оказывается, что в/а=A(w) и F=F(w), т.е. амплитудная
частотная характеристика равна отношению амплитуды выходного сигнала к
амплитуде входного гармонического сигнала (в установившемся режиме), а
фазовая частотная функция - сдвигу фазы выходного сигнала.
Временные характеристики.
Переходные и импульсные переходные характеристики называются вре-
менными. Они используются при описании линейных систем как стационар-
ных, так и нестационарных. Переходной функцией звена называется функ-
ция h(t), которая описывает его реакцию (изменение выходной величины)
- 56 -
на единичное ступенчатое воздействие 1(t) при нулевых начальных усло-
виях.
По определению, 1(t)= 7( 01, t>0
79 00, t<0 (50).
График переходной функции - кривая зависимости h(t) от времени t
называется переходной или разгонной характеристикой.
Импульсной переходной или весовой функцией называется функция
w(t), которая описывает реакцию системы на единичное импульсное воз-