удобном для исследования, описание на математическом языке называется
математической моделью.
Представление реального объекта как системы, использование сис-
темных понятий при его моделировании послужили методологической осно-
вой для ряда принципов исследования, объединенных общим названием -
системный анализ. Каждую систему можно исследовать в 2-х аспектах: как
элемент более широкой системы и как совокупность взаимосвязанных эле-
ментов, эти два аспекта и определяют микроанализ - изучение и модели-
рование структуры и свойств элементов системы (предполагается, что это
доступно для наблюдения) и макроанализ - изучение системы в целом в ее
свойствах, поведении, взаимодействии с окружающей средой. Метод черно-
го ящика предполагает, что внутренняя структура системы неизвестна, а
наблюдаемы лишь связи системы с внешней средой.
Для разработки систем управления технологическим оборудованием и
процессами необходимо знать количественную зависимость между воздейс-
твиями на объект управления со стороны внешней среды и устройства уп-
равления и состоянием интересующих нас параметров объекта. Эта зависи-
- 59 -
мость может быть выражена в виде аналитических формул и уравнений,
схемы набора для аналоговой вычислительной машины, некоторой электри-
ческой цепи, описываемой теми же уравнениями, макета объекта.
В зависимости от цели исследования объекта могут строиться раз-
личные его модели. Так, при исследовании влияния размещения пассажиров
на центровку самолета моделью человека может служить мешок с песком,
для конструктора одежды - манекен, для медико-биологических исследова-
ний - животное.
Модель - специфическая форма отражения, при которой отображаются
свойства и закономерности объектов, существенно важные в данном произ-
водственном процессе. Отражаются свойства не все, а только связанные с
интересующим нас процессом. В отличие от образа, который является от-
ражением совокупности свойств предмета в нашем сознании, модель есть
отражение одного свойства или узкой группы свойств предмета и явления,
необходимых для решения определенной практической задачи, для предска-
зания результатов возможных решений, принимаемых человеком в его прак-
тической деятельности.
Модель отражает функциональные свойства объекта и, как всякое от-
ражение, не является тождественной объекту, поэтому необходимо ввести
оценку, или критерий близости, т.е. соответствия модели данному объек-
ту. Критерий обычно формируется как функционал от разности реакций
объекта и модели на одни и те же воздействия. Критерий является число-
вой характеристикой данной модели, представляет собой "штраф" за рас-
хождение реакций объекта и модели на одинаковые воздействия. По крите-
рию выбирается оптимальная модель из некоторого класса моделей. Модель
считается оптимальной, если для нее значение критерия минимальное.
Критерий зависит при этом от типа входного воздействия. Чтобы избежать
неопределенности, критерий формируют как результат усреднения разности
реакций модели и объекта по множеству входных сигналов и по времени.
Математические и физические модели. Первоначально понятие физи-
ческой модели развилось из понятия физического аналога, например,
уменьшенной копии объекта. Оказалось, что многие процессы различной
физической природы описываются одинаковыми уравнениями движения, нап-
ример, колебания груза на пружине, струны, тока в колебательном конту-
ре. Следовательно, движение объекта одной физической природы может
служить описанием движения объекта другой природы. Таким образом, фи-
зическая модель отделяется от материального носителя и возникает мате-
матическая модель как формулировка закона движения, совокупность урав-
нений, отражающих функциональные характеристики объекта.
Носителем математической модели помимо формул, программ для ЭВМ и
схем набора для АВМ могут служить и другие физические устройства, ко-
торые описываются известными уравнениями. Таким образом, происходит
смещение понятий - отделение физической модели от конкретного матери-
ального носителя, когда одна и та же модель может быть реализована в
устройствах различной физической природы, а математическая модель воп-
лощается в конкретном материальном устройстве. Различие физической и
математической модели носит чисто гносеологический характер.
МОДЕЛЬ называется математической, если известно ее математическое
описание. При этом модель может быть реализована в виде материального
устройства. Модель называется физической, если ее математическое опи-
сание неизвестно, но реакции модели схожи с реакциями объекта.
Точность модели определяется, с одной стороны, нашими знаниями о
процессах, происходящих в объектах, а с другой стороны, нашим умением
анализировать сложные модели, т.е. развитием математического аппарата
для исследования динамики процессов управления.
Наиболее разработаны методы исследования линейных дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами. Именно поэтому чаще всего
в качестве моделей принимаются линейные стационарные звенья. Следова-
- 60 -
тельно, для исследования динамики систем управления технологическими
объектами исключительное значение имеет выбор класса моделей объектов,
если же результаты расчета систем управления на основе выбранной моде-
ли существенно отличаются от результатов экспериментальной проверки,
то это свидетельствует о грубости модели и необходимости замены ее бо-
лее тонкой, сложной моделью и, следовательно, применении более сложных
и трудоемких математических методов. Аналогична ситуация и для физи-
ческой модели, где стремление к точности вступает в противоречие с
техническим уровнем эксперимента и возможностями экспериментатора.
Одна и та же модель может быть удовлетворительна для решения од-
них задач и совершенно неудовлетворительна для других. Например, пря-
моугольная ломаная, аппроксимирующая кривую намагничивания магнитомяг-
кого ферромагнитного материала, вполне приемлема для расчета магнитных
усилителей без обратной связи, но совершенно не годится для расчета
усилителей с внутренней положительной обратной связью.
Отметим еще одно противоречие модели объекта управления. Модель
оценивают по сходству ее с реакциями объекта на одни и те же воздейс-
твия. Этими воздействиями являются управляющие сигналы с регулятора.
Может оказаться, что при одних входных сигналах меньшее значение штра-
фа за несовпадение будет у одной модели, а при других входных воздейс-
твиях - у другой модели. Например, модель А точнее описывает реакции
объекта на низкочастотные сигналы, а модель Б - на высокочастотные.
Следовательно, значение критерия оценки качества модели зависит
от закона распределения управляющего сигнала, а последний - от пара-
метров и структуры регулятора. Однако модель создается именно для то-
го, чтобы с ее помощью выбрать регулятор и определить управляющие воз-
действия на объект.
Таким образом, выбор модели должен предшествовать выбору закона
управления, а выбор закона управления - выбору модели. Разрешить это
противоречие возможно методом последовательных приближений. Вначале
выбирается модель первого приближения на основе теоретического анализа
процессов в объекте. По этой модели выбираются параметры регулятора.
Затем подбирается модель второго приближения в эксперименте, где ис-
пользуется выбранный регулятор. По уточненной модели уточняются пара-
метры регулятора. Модели используются для нахождения законов управле-
ния, моделирования процессов с целью проверки законов управления,
оценки состояния. Различные задачи требуют различной детализации моде-
ли и их различных классов. Так, для синтеза законов управления при
современном уровне теории предпочтительнее линейные модели, а для мо-
делирования процессов и оценивания состояний средствами вычислительной
техники предпочтительны более сложные модели.
Построение моделей на основе анализа физико-химических процессов
в технологическом объекте. Такое построение позволяет составить урав-
нение даже на стадии проектирования объекта. Метод предполагает знание
тепловых, гидравлических, пневматических, электрических систем объек-
та, а также процессов массотеплопереноса и химических реакций.
Можно выделить общие подходы к составлению уравнений объектов.
Прежде всего следует расчленить мысленно объект на части и составить
уравнения для каждого узла, заменив отброшенные части системы эквива-
лентными воздействиями.
Например, уравнение динамики инфракрасной печи получается на ос-
нове законов теплообмена между нагревателями, теплоизоляцией (реакто-
ром) и объектом, установленным для термообработки в печи. В уравнении
участвуют составляющие теплообмена путем излучения, конвекции и теп-
лопроводностью. Коэффициенты уравнения зависят от таких физических ха-
рактеристик, как теплоемкость материала, излучательная способность,
температура окружающей среды, от геометрических размеров. В результате
упрощения записи уравнения теплообмена и пренебрежения членами высших
- 61 -
порядков, получается линеаризованное дифференциальное уравнение с пос-
тоянными коэффициентами, которое справедливо при небольших изменениях
приращений тепла, участвующего в массообмене.
В некоторых случаях линеаризация уравнения не позволяет адекватно
описывать объект, тогда используются нелинейные уравнения. Решение та-
ких уравнений представляет существенные проблемы и, в конечном итоге,