при решении таких систем все равно приходится проводить линеаризацию,
но только на уровне численных методов. Если объект описывается систе-
мой дифференциальных уравнений в частных производных, то решение такой
системы осуществляется с помощью численных методов, что, как уже ука-
зывалось выше, тоже линеаризация, только на более поздней стадии полу-
чения решения.
В том случае, если связи между входными и выходными параметрами
описать в виде дифференциального уравнения сложно (например, ввиду
слабой изученности природы объекта или влияние на выходные значения
параметров оказывают как физические, так и химические факторы, которые
составляют нерешаемую в данное время систему уравнений), используют
регрессионные модели - уравнения регрессии. В уравнениях такого вида и
используется принцип "черного ящика". Пусть связь между воздействием
х, управляющим технологическим процессом и переменной y, характеризую-
щей протекание этого процесса, выражается зависимостью y =f(х) (62),
которая заранее неизвестна. Требуется определить эту зависимость по
имеющимся экспериментальным данным. Иными словами, задача состоит в
том, что по имеющейся совокупности входных воздействий x 4i 0, i=1,...,n,
и соответствующих им выходных переменных y 4i 0, полученной в результате
эксперимента, определить вид зависимости y =f^(x), наилучшим образом
отражающей зависимость (62).
Эту задачу можно решить путем построения интерполяционного поли-
нома степени n-1, в точности проходящего через точки x 4i 0,y 4i 0 (известно,
что такой полином всегда существует). Однако на практике такое решение
оказывается неприемлемым ввиду того, то измерение значений происходит
с ошибками, поэтому построенный таким образом полином будет не столько
характеризовать объективную зависимость между величинами х и у, сколь-
ко характер ошибок измерения.
Таким образом, при построении модели процесса оказывается необхо-
димым отразить вид зависимости между входом и выходом, сгладив незако-
номерные случайные отклонения входной величины. Предположим, что эти
отклонения происходят по нормальному закону распределения с нулевым
средним (на практике это предположение обычно выполняется). Тогда y 4i
представляет собой случайные величины, распределенные по нормальному
закону с математическими ожиданиями f(x 4i 0) и дисперсиями s 4i 52 0, характе-
ризующими ошибки измерения. Предположим, что точность измерений во
всех точках одинакова, т.е. s 41 0=s 42 0=...=s 4n 0=s. Тогда плотность распреде-
ления вероятностей случайной величины y 4i
p 4i 0(y)=[1/(s- 7? 0(2 7p 0))]exp{[-y-f(x 4i 0) 52 0] /(2s 52 0)} (63).
Предположим, что в результате эксперимента происходит следующее
событие: случайные величины y 41 0,...,y 4n 0 принимают некоторые значения
y 41 0^,...y 4n 0^, равные результатам измерений. Задача заключается в том,
чтобы подобрать функцию f^(x) так, чтобы вероятность этого события бы-
ла максимальной. Для определения классов функций f^(x), в частности,
для функций, в которые искомые параметры входят линейно, при использо-
вании метода наименьших квадратов оказывается возможным определить не
только значения этих параметров, но и их важнейшие статистические ха-
рактеристики. Суть метода наименьших квадратов заключается в следую-
щем: функция f^(x) должна быть выбрана так, чтобы сумма квадратов отк-
лонений значений f^(x 4i 0) от измеренных значений y 4i 0^ была минимальной:
L= 7S 0[y^-f^(x 4i 0)] 52 0=min (64).
МНК обеспечивает идентификацию по принципу максимального правдо-
- 62 -
подобия при любом виде зависимости, связывающей входные воздействия и
выходные переменные процесса, этот метод работает в случае процессов
со многими входами и выходами, при использовании этого метода обычно
задаются видом функции f^(x) и в процессе идентификации (будет расс-
мотрено ниже), находят параметры, определяющие искомую функцию, кото-
рая удовлетворяет условию (64). Совокупность МНК и методов нахождения
этих статистических характеристик называется регрессионным анализом, а
сами модели - регрессионными моделями.
Простейшим примером регрессионной модели процесса с k входами
x 41 0,...,x 4k 0 и одним выходом y является уравнение y=a 41 0x 41 0+a 42 0x 42 0+...+a 4k 0x 4k 0+e
(65), где е - ошибки измерения.
Как видно из вышеизложенного, при построении модели объекта воз-
можно применение алгебраических методов, систем дифференциальных урав-
нений обычных и с частными производными и статистических методов -
регрессионого анализа, построенного на теории вероятности случайных
процессов и собственно сами методы теории вероятности.
Кроме статистических методов, уже достаточно хорошо отработанных,
в последнее время получили распространение методы нечетких (размытых)
множеств, особенно для непрерывных систем. Суть метода заключается в
следующем. Часто бывает необходимо формализовать качественную информа-
цию о процессе, который имеет большое количество факторов, влияющих на
его качество. Описание такого объекта системами уравнений в частных
производных не позволяет решить основную задачу - установить связь
между входом и выходом системы ввиду нерешаемости данной системы на
современном этапе развития вычислительной техники. При использовании
метода нечетких множеств вводятся отношения " больше", "меньше", "нам-
ного больше", "намного меньше", "чуть больше", "чуть меньше" и с по-
мощью этих отношений получают уравнение, которое решается известными
методами. Этот метод в своей сути имеет много общего с вероятностными
методами, где с определенной степенью допущения под соотношениями меж-
ду значениями переменных можно провести аналогию с вероятностью приня-
тия параметром того или иного значения.
При формализации качественной информации предполагается существо-
вание связи между нечетко определенными характеристиками и математи-
ческими объектами. Для таких параметров, как температура в технологи-
ческом агрегате, расход газообразного агента, давление, концентрация,
скорость движения среды и т.п. наличие такого соответствия очевидно. С
одной стороны, величине параметра ставится в соответствие числовая ко-
ордината с установленными на ней началом координат и мерой, а с другой
стороны - величину параметра описывают словесными высказываниями.
Пусть имеется множество Х параметров такого типа. Элементы x 4i 0сX,
обозначают названия параметров, например: температура, концентрация и
др. Количественной характеристикой x 4i 0 являются элементы u 4j 0сU. Множест-
во U представляет собой диапазон изменения параметров x 4i 0. При словес-
ном описании паре (x 4i 0,u 4j 0) ставится в соответствие нечеткий термин
q 4k 0сQ, Q- множество нечетких терминов. Иногда такого типа множества на-
зывают эмпирическими, т.е. множествами, элементы которых имеют не чис-
ловую природу. Примерами, как уже выше указывалось, являются такие не-
четкие термины как "высокий", "очень высокий", "низкий", "не очень
низкий" и др. Несмотря на то, что параметры такого типа могут быть из-
мерены, и их величина может быть выражена в числовом виде, на практике
это не всегда возможно в виду, например, агрессивности среды или очень
высокими значениями температур. В этом случае для получения количест-
венных характеристик может быть использована качественная информация,
прошедшая предварительную формализацию и адаптацию.
Существование словесных описаний параметров, которыми характери-
зуют качество вырабатываемой продукции. Здесь под качеством понимается
интегральная характеристика, которая складывается из ряда взаимосвя-
- 63 -
занных между собой компонентов, часть которых в отдельности не измеря-
ется методами количественного анализа, а контролируется визуально че-
ловеком. Примером такой характеристики является качество изделий из
стекла, которое оценивают по оптическим искажениям. На эту оценку су-
щественно влияют геометрия поверхности стекла, метод оценки, субъекти-
визм контролера. Потребность формализации качественной информации дик-
туется необходимостью решения следующих задач:
1. исключения субъективизма в оценках качества изделий;
2. разработки методов и технических решений для автоматической
классификации изделий;
3. нахождения взаимосвязей между показателями качества и техноло-
гическими параметрами. Чаще всего параметры данного типа не имеют
строго обоснованного математического аналога. Для их формализации при-
меняют метод экспертных оценок. Суть его заключается в выявлении мно-
жества нечетко определенных характеристик Q и сопоставлении его с мно-
жеством, имеющим числовую природу. Обычно выделяют следующие отношения
между рассматриваемыми объектами:
1. принадлежность к общему классу;
2. выражение порядка между объектами (например, параметр х 41 0 более
значим, чем х 42 0);
3. отношение эквивалентности в смысле принадлежности к общему
классу;
4. отношение порядка в системе. Названия параметров, между кото-
рыми устанавливается взаимосвязь, должны быть качественно совместимы в
смысле используемых отношений. В противном случае отношения между па-
раметрами могут не выполняться или потеряют смысл. Такая совместимость
обеспечивается на этапе качественного анализа исследователем.
Для описания модели поведения дискретных систем разработана тео-
рия конечных автоматов. Здесь допускается, что система имеет конечное
число состояний и из одного состояния в другое может переходить при
определенных условиях (ограничениях). Математический аппарат, применя-
емый в этом методе - теория множеств.