суммарной погрешности e 41,2 0 этих двух звеньев находится с помощью
свертки исходных плотностей:
+ 7$
f(e 41 0,e 42 0)= 73 0f(e 41 0)*f(e 41,2 0-e 41 0)de 41 0 (87).
- 7$
Применяя последовательно операцию свертки n-1 раз, где n - коли-
чество звеньев в измерительной цепи, получаем закон распределения пол-
ной (результирующей) погрешности. Однако, решение данного уравнения не
всегда возможно. Поэтому при определении полной погрешности получили
широкое применение методы математического моделирования, в частности,
метод статистических испытаний. В этом случае законы распределения
случайных составляющих погрешности отдельных звеньев формируются с по-
мощью специальных генераторов или программным путем. Осуществляя мно-
гократный перебор случайных сочетаний значений отдельных составляющих
погрешностей и определяя каждый раз полную погрешность, можно по ре-
зультатам испытаний воспроизвести закон распределения полной погреш-
ности.
Определение полной погрешности в тех случаях, когда составляющие
погрешности заданы в виде некоторых числовых характеристик, можно осу-
ществить следующим образом. Если отдельные звенья ИИС охарактеризованы
экстремальными погрешностями, то полная погрешность определяется прос-
тым суммированием этих погрешностей. Однако, вполне очевидно, что та-
кое значение полной погрешности может быть существенно завышено. Если
составляющие погрешности отдельных звеньев заданы интегральными оцен-
- 93 -
ками или доверительными интервалами и вероятностями, то полная систе-
матическая погрешность многозвенного линейного измерительного канала
находится суммированием систематических погрешностей отдельных узлов,
а дисперсия случайной погрешности при условии некоррелированности пог-
решностей отдельных звеньев - как сумма дисперсий погрешностей звень-
ев.
В том случае, когда погрешности некоторых звеньев коррелированы
между собой, к сумме дисперсий добавляются удвоенные корреляционные
моменты соответствующих погрешностей. При суммировании вводятся весо-
вые коэффициенты, зависящие от схемы включения звеньев и определяемые
как частные производные от выходной величины измерительного канала по
величине на входе данного звена. В том случае, если заданы не диспер-
сии случайных составляющих погрешностей отдельных звеньев, а их дове-
рительные интервалы, для определения полной погрешности необходимо
знание законов распределения отдельных составляющих погрешностей. В
этом случае по известным законам распределения, доверительным интерва-
лам и вероятностям можно найти дисперсии погрешностей отдельных звень-
ев, а затем полученные дисперсии суммировать.
Из анализа приведенных выше структур ИИС можно заключить, что ос-
новные составляющие погрешности измерительного канала обусловлены пог-
решностями первичных измерительных преобразователей (датчиков), пог-
решностями аналого-цифровых преобразователей и мультиплексоров (комму-
таторов) аналоговых сигналов.
3.3. Основные понятия теории вероятности.
Нормальное распределение, математическое ожидание,
дисперсия, среднеквадратическое отклонение.
Доверительный интервал.
Методы проверки гипотез о распределении.
Предметом теории вероятности является математический анализ слу-
чайных явлений, т.е. таких эмпирических феноменов, которые, при опре-
деленном комплексе условий, могут быть охарактеризованы тем, что для
них отсутствует детерминистическая регулярность (наблюдения за ними не
всегда приводят к одним и тем же результатам) и в то же время они об-
ладают некоторой статистической регулярностью (проявляющейся в статис-
тической устойчивости частот).
Смысл статистической устойчивости частот заключается в том, что,
если результаты отдельных наблюдений носят нерегулярный характер, то
большое количество экспериментов позволяют получить некоторые законо-
мерности, связанные с этими экспериментами. Статистическая устойчи-
вость частот делает весьма правдоподобной гипотезу о возможности коли-
чественной оценки "случайности" того или другого события А, осущест-
вляемого в результате экспериментов. Исходя из этого, теория вероят-
ности постулирует существование у события А определенной числовой ха-
рактеристики Р(А), называемой вероятностью этого события, естественное
свойство которой должно состоять в том, что с ростом числа "независи-
мых" испытаний (экспериментов) частота появления события А должна
приближаться к Р(А).
Частотой события называется отношение числа его появлений к числу
произведенных опытов. Таким образом, если в n опытах событие А появи-
лось m раз, то его частота равна m/n. lim(m/n)=P(A).
n 76$
Предположим, что в результате n опытов случайная величина Х при-
няла значения х 41 0,х 42 0,...,х 4n 0, тогда выборочное среднее определяется фор-
мулой: 4n 0 4n
х 4ср 0=( 7S 0x 4i 0)/n; lim(x 4ср 0)=M(X); d 5* 0=( 7S 0(x 4i 0-х 4ср 0) 52 0)/n; lim(d 5* 0)=D(X); где
- 94 -
M(X) - математическое ожидание величины Х; d 5* 0 - выборочная дисперсия
величины Х; D(X) - дисперсия величины Х, корень квадратный из диспер-
сии называется среднеквадратическим отклонением величины Х.
Большое значение в теории вероятности, особенно при обработке ре-
зультатов экспериментов играет распределение Гаусса (нормальное расп-
ределение, нормальный закон, нормальная кривая, закон Гаусса), оно ха-
рактеризуется двумя параметрами: m 4x 0 - математическим ожиданием и s 4x 0 -
среднеквадратическим отклонением, которые полностью определяют все его
характеристики. При m 4x 0=0, s 4x 0=1 f(x)=(2 7p 0) 5-1/2 0exp{-x 52 0/2 } (88) нормаль-
ная кривая называется нормированной.
──────────────────────────────────────────────────────────────────────
f(x)
m 4x 0=0 . m 4x 0=0 . . m 4x 0=1 s 4x 0=2
s 4x 0=2. /|\. s 4x 0=1. .
. . | . . / \
. . | . / . \
. .. . . . .|../. . . . . .
________________0_|__________1_____________ x
Рис. 12. Примеры нормального распределения.
──────────────────────────────────────────────────────────────────────
Как показывает практика, такое распределение характерно для расп-
ределения погрешностей устойчивых, стабильных технологических процес-
сов производства РЭА.
Любая функция результатов опытов, которая не зависит от неизвест-
ных статистических характеристик, называется статистикой. Оценкой ста-
тистической характеристики Q называется статистика, реализация кото-
рой, полученная в результате опытов, принимается за неизвестное истин-
ное значение параметра Q. Оценка называется состоятельной, если она
сходится по вероятности к Q при неограниченном увеличении числа опытов
n. Чтобы оценка была состоятельной, достаточно, чтобы ее дисперсия
стремилась к нулю при неограниченном увеличении числа опытов n.
Случайный интервал, полностью определяемый результатами опытов и
независящий от неизвестных характеристик, который с заданной вероят-
ностью а накрывает неизвестную скалярную статистическую характеристику
Q, называется доверительным интервалом для этой характеристики, соот-
ветствующим коэффициенту доверия а. Величина 1-а называется уровнем
значимости отклонения оценки. Концы доверительного интервала называют-
ся доверительными границами.
Как показывает практика, распределение случайной величины невоз-
можно точно определить по результатам опытов. Полученные эксперимен-
тальные результаты дают возможность только строить различные гипотезы
о распределении случайной величины, например, гипотезу о том, что она
распределена нормально. Поэтому возникает задача проверки гипотез. Эта
задача состоит в том, чтобы определить, насколько согласуется та или
иная гипотеза о распределении случайной величины с полученными экспе-
риментальными данными. Эта задача тесно связана с задачей определения
доверительных областей для плотности или функции распределения. Однако
она имеет следующие особенности. Проверяя гипотезу о нормальном расп-
ределении, по той же выборке обычно оценивают математическое ожидание
и ковариационную матрицу (дисперсию в случае одномерного распределе-
ния) случайной величины. Вследствие этого гипотетическое распределение
оказывается само случайным - функцией случайных результатов опытов.
Это и отличает задачу проверки гипотез о распределении от задачи опре-
деления доверительных областей для распределений. И только в отдельных
случаях может возникнуть задача проверки гипотезы о том, что случайная
величина подчинена вполне определенному закону распределения, не зави-
сящему от неизвестных параметров.
Для проверки гипотез о распределении применяются различные крите-
- 95 -
рии согласия. Наиболее удобным и универсальным критерием является кри-
терий 7c 52 0 (хи-квадрат) К.Пирсона. Он совершенно не зависит от распреде-
ления случайной величины и от ее размерности. Критерий Пирсона основан
на использовании в качестве меры отклонения экспериментальных данных
от гипотетического распределения той же величины, которая служит для
построения доверительной области для неизвестной плотности, с заменой
неизвестных истинных значений вероятностей попадания в интервалы веро-
ятностями, вычисленными по гипотетическому распределению.
Посмотрим использование статистического метода на примере статис-