Окремі випадки задач оптимального стохастичного керування (стр. 2 из 3)

– банахів простір всіх обмежених дійсних функцій з нормою, що визначається за формулою

, .

Позначатимемо

, якщо , , і , якщо , , .

Для будь-якої функції

і будь-якого числа позначимо через функцію, що приймає значення в кожній точці , так, що

, .

Припущення монотонності. Для будь-яких станів

, керування і функцій мають місце нерівності

якщо і ;

, якщо і ;

, якщо , і .

Для будь-якого

стратегія називається -оптимальною при горизонті , якщо

і

-оптимальною, якщо

Багато задач послідовної оптимізації, що становлять практичний інтерес, можуть розглядатися як окремі випадки задач загального виду. Розглянемо деякі з них:

· задачі детермінованого оптимального керування;

· задачі стохастичного керування зі зліченним простором збурень;

· задачі стохастичного керування із зовнішнім інтегралом;

· задачі стохастичного керування з мультиплікативним функціоналом витрат;

· задачі мінімаксного стохастичного керування.

2. Детерміноване оптимальне керування

Розглянемо відображення

, що задане формулою

, , , (1)

за таких припущень:

функції

і відображають множину відповідно в множини і , тобто , ; скаляр додатний.

За цих умов відображення

задовольняє припущенню монотонності. Якщо функція дорівнює нулю, тобто , , то відповідна -крокова задача оптимізації (1) набуває вигляду:

, (2)

. (3)

Ця задача є задачею детермінованого оптимального керування зі скінченним горизонтом. Задача з нескінченним горизонтом має наступний вигляд:

, (4)

. (5)

Границя в (4) існує, якщо має місце хоча б одна з наступних умов:

·

, , ;

·

, , ;

·

, , , і деякого .

У задачі (4) – (5) може бути уведене додаткове обмеження на стан системи

, . У такому разі, якщо , позначатимемо .

3. Оптимальне стохастичне керування: зліченний простір збурень

Розглянемо відображення

, що задане формулою

, (6)

за таких припущень:

параметр

приймає значення зі зліченної множини з заданим розподілом ймовірностей , що залежать від і ; функції і відображають множину відповідно в множини і , тобто , ; скаляр додатний.

Якщо

, , – елементи множини , – довільний розподіл ймовірностей на , а – деяка функція, то математичне сподівання визначається за формулою