Окремі випадки задач оптимального стохастичного керування (стр. 1 из 3)

ОКРЕМІ ВИПАДКИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО СТОХАСТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

1.Зовнішній інтеграл

Функції

і можуть бути довільними, а математичні сподівання можна обчислювати, якщо як функція від є вимірною.

Якщо ж оптимальна стратегія, отримана в результаті оптимізації, виявиться невимірною, то і функція

може виявитися невимірною. У цьому випадку математичне сподівання невизначено.

Для розв’язання цієї проблеми застосовують два підходи. Перший полягає в накладенні на функції

і таких обмежень, які забезпечували б вимірність підінтегральної функції на кожному кроці оптимізації : функції і , , повинні бути неперервними по своїх аргументах і повинна існувати щільність імовірності розподілу випадкової величини , а множини значень припустимих стратегій повинні бути компактними.

На жаль, на практиці ці вимоги не завжди виконуються. Тому другий підхід пов’язаний з використанням зовнішнього інтеграла.

Позначимо через

простір елементарних подій, що є довільною множиною, а – деяка система підмножин множини .

Математичним сподіванням випадкової величини

, заданої на імовірнісному просторі , називається число , якщо інтеграл з правої частини існує.

Нехай

і – борелівські простори, , є -алгеброю в . Функція називається -вимірною, якщо для будь-якої множини . Тут – борелівська -алгебра простору .

Для функції

, ( ) зовнішній інтеграл за мірою визначається як нижня грань інтегралів від всіх вимірних функцій ( ), що мажорують , тобто

, .

Тут

– функція розподілу випадкової величини , що відповідає ймовірнісній мірі .

Для довільної функції

має місце співвідношення:

,

де

, , і вважають, що .

Оскільки зовнішній інтеграл визначений для будь-якої функції, як для вимірної, так і для невимірної, то ніяких додаткових обмежень на функції

і накладати не треба.

Для вимірних функцій обидва види математичних сподівань співпадають. Отже, у постановках задач можна замінити звичайне математичне сподівання на зовнішнє, і навіть якщо знайдена при цьому функція

виявиться вимірною, то отримана стратегія керування не перестане бути оптимальною.

Зовнішня міра множини

визначається співвідношенням .

Для будь-якої множини

,

де

– це індикатор множини , що визначається як

а) якщо

, то ;

б) якщо

і , то ;

в) якщо

або , то ;

г) якщо

задовольняє рівності , то для будь-якої функції має місце рівність ;

д) якщо

, то для будь-якої функції ;

е) якщо

і , то . Якщо при цьому хоча б одна з функцій або -вимірна, то останнє співвідношення вірно зі знаком рівності.

Позначимо через

дійсну пряму, а через – розширену дійсну пряму і надалі у всіх висновках замість дійсної прямої використовуватимемо поняття розширеної дійсної прямої.

Вважатимемо, що для розширеної дійсної прямої мають місце всі співвідношення порядку додавання і множення, які було введено для

, і припустимо, що і .

Позначимо через

множину всіх дійсних у розширеному розумінні функцій , де – простір станів.