Проектирование системы оптимального корректирующего устройства (стр. 2 из 9)

Рис. 1.5. АЧХ замкнутой системы

Показатель колебательности определяется по формуле:

,

где

− максимальное значение АЧХ ЗC;

− начальное значение АЧХ ЗC.

.

Исходя из требований ТЗ, показатель колебательности не должен превышать 1,25.

Вывод: исходная система не соответствует требованиям ТЗ, так как амплитудно-фазовые искажения превышают допустимые значения.

1.2 Анализ системы с пропорциональным регулятором

1.2.1 Определение коэффициента усиления пропорционального регулятора

Структурная схема линеаризованной системы с пропорциональным регулятором в общем виде изображена на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Структурная схема системы с пропорциональным регулятором

Расчет минимального коэффициента усиления разомкнутой системы оформим в виде таблицы (см. табл. 1.2).

Таблица 1.2

, Гц	0…0,15	0,15…0,5	0,5…1,3
, с-1	0,942	3,142	8,168
, дБ	0,1	0,4	2,5
ΔAn=	0,011	0,045	0,25
, град	3	5	16
	0,0108	0,043	0,2
sin	0,052	0,087	0,276
ρn=	0,0108	0,043	0,2
	87,222	73,07	40,82

с^-1.

При построении ЛЧХ системы с пропорциональным регулятором необходимо чтобы график ЛАЧХ проходил выше так называемой запретной области. Асимптотическая ЛАЧХ системы с полученным таким образом коэффициентом

будет обеспечивать данное условие. Необходимо проверить данное условие для расчетной ЛАЧХ.

Выражение для построения ЛАЧХ системы:

.

Воспользовавшись данными из табл. 1.2 запишем координаты запретной области и сравним их со значениями ЛАЧХ системы на тех же частотах (табл. 1.3).

Таблица 1.3

, Гц	0…0,15	0,15…0,5	0,5…1,3
, с-1	0,942	3,142	8,168
ρn	0,0108	0,043	0,2
Координаты запретной области
	-0,026	0,497	0,912
	39,332	27,331	13,979
Значения расчетной ЛАЧХ
	39,322	28,76	19,885

Из таблицы (см. табл. 1.3) видно, что на частоте

расчетная ЛАЧХ заходит в запретную область. Следовательно, ЛАЧХ необходимо поднять на 0,011 дБ. Таким образом, минимальный коэффициент усиления разомкнутой системы будет равен:

с^-1.

Коэффициент усиления пропорционального регулятора рассчитывается по формуле:

.

Структурная схема системы с пропорциональным регулятором с числовыми параметрами изображена на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Структурная схема системы с пропорциональным регулятором

1.2.2 Проверка устойчивости замкнутой системы

Проверим устойчивость системы по алгебраическому критерию Гурвица (см. п.1.1).

ХУ ЗС:

,

,

,

,

; ; ; ; .

Необходимое условие устойчивости выполняется, так как

.

Проверим достаточное условие устойчивости. Для системы четвертого порядка достаточно проверить выполнение условия:

,

,

.

Условие выполняется, следовательно, система устойчива.

Проверим устойчивость системы по критерию Найквиста [1, §6.5, §6.6].

1. С использованием амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ):

Запишем ПФ РС:

.

Для того чтобы судить об устойчивости замкнутой системы, необходимо проверить устойчивость разомкнутой системы. Для этого запишем характеристическое уравнение разомкнутой системы (ХУ РЗ) и найдем корни уравнения:

,

; ; ; .

Так как один из корней равен нулю (

), а все остальные корни с отрицательными вещественными частями (левые), то можно сделать вывод, что разомкнутая система находится на апериодической границе устойчивости.

Далее необходимо построить АФЧХ разомкнутой системы (годограф Найквиста). Запишем выражение для построения АФЧХ и выделим действительную и мнимую части:

Задаваясь различными значениями ω в пределах от нуля до бесконечности, построим годограф Найквиста (рис. 1.8) по характерным точкам (табл. 1.4):

Таблица 1.4

ω
0	-5,146	-∞
46,7	-0,7	0
290,3	0	0,008
	0	0

Рис. 1.8. Годограф Найквиста

Так как годограф Найквиста, дополненный на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывает особую точку (−1;j0), то замкнутая система устойчива.

2. С использованием ЛЧХ:

Запишем выражения и построим ЛАЧХ и ЛФЧХ (рис. 1.9):

.

Рис. 1.9. ЛЧХ системы

Замкнутая система устойчива, если выполняется неравенство:

,

где

– частота среза, при которой ;

– критическая частота, при которой .