Анализ и синтез систем автоматического управления и исследование нелинейной системы (стр. 3 из 7)
Рисунок 1.3.4.1 — годограф Найквиста
При стремлении частоты в бесконечность, годограф приходит в начало координат, закручиваясь по часовой стрелке, и не охватывает точку с координатами (–1 ; j0), что свидетельствует об устойчивости как разомкнутой, так и замкнутой системы.
Все критерии оценки устойчивости показали, что система устойчива и в замкнутом, и в разомкнутом состоянии.
1.3.5 Построение области устойчивости САУ.
Характеристическое уравнение замкнутой системы с общим коэффициентом усиления, принятым переменным (k), имеет вид:
Выполним преобразование
: 
D-разбиение в плоскости одного параметра выполняется исходя из условия равенства нулю действительной части характеристического уравнения (полюс на мнимой оси, что соответствует колебательной границе устойчивости системы). Однако, для наглядности представления, график D-разбиения строится на комплексной плоскости. Также, для удобства и наглядности, при построении D-разбиения, учитывают как положительные, так и отрицательные значения частот.
В данном случае, характеристическое уравнение решается относительно коэффициента усиления k:
Действительная часть:
Мнимая часть:
На графике D-разбиения наносится штриховка в сторону устойчивой области.
Рисунок 1.3.5.1 — D-разбиение
Таблица 1.3.5.1 — Данные для построения D-разбиения
| ω | 0 | 2 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 40 | 45 | 50 | 60 |
| Ud(ω) | -10 | -8 | -2 | 8 | 22 | 40 | 62 | 118 | 152 | 190 | 278 |
| Vd(ω) | 0 | -8.88 | -17.04 | -23.76 | -28.3 | -30 | -28.1 | -10.56 | 6.48 | 30 | 99.4 |
Как видно, вся плоскость по параметру K разбивается на три зоны, разделяемые точками на оси Ud(ω) с абсциссами:
Первая область — (–∞ ; –10);
вторая область — (–10 ; 190,666667);
третья область — (190,666667 ; +∞).
Так как исходный коэффициент усиления системы, равный 10, находится во второй области устойчивости, можно заключить, что это — область, в которой данная САУ будет устойчива, и штриховку вдоль кривой, описанной графиком D-разбиения, следует нанести в сторону этой области.
1.4 Построение переходного процесса системы методом трапеций
Выполняем построение вещественной частотной характеристики замкнутой системы (рис. 1.4.1).
Рисунок 1.4.1 — ВЧХ замкнутой САУ.
Таблица 1.4.1 — Данные для построения АФЧХ замкнутой системы
| ω | 0 | 2 | 10 | 21 | 25 | 30 | 50 | 70 | 100 | 120 |
| Uз(ω) | 5 | 4.92 | 2.76 | -1.43 | -1.67 | -1.49 | -0,54 | -0,21 | -0.64 | -0.034 |
Разбиваем ВЧХ на три трапеции.
Рисунок 1.4.2 — Разбивка ВЧХ на трапеции.
Синим цветом выделен контур первой трапеция, зелёным – второй, розовым – третьей.
Определяем параметры трапеций: высоту и частоты начала и окончания наклонной стороны (
и 
соответственно).Для наглядности, совместим трапеции основаниями с осью частот.
Рисунок 1.4.3 — Трапеции, совмещённые по оси частот.
На основании полученных результатов, строим таблицу.
Таблица 1.4.2 — Параметры трапеций
| 1 трапеция | 2 трапеция | 3 трапеция | |||||||||
| Wd = | 1.25 | Wп = | 25 | Wd = | 25 | Wп = | 50 | Wd = | 50 | Wп = | 100 |
| Х = | 0,05 | R0 = | 6.67 | Х = | 0,5 | R0 = | -1.13 | Х = | 0,50 | R0 = | -0,54 |
В таблице h-функций находим соответствующую каждому
функцию 
. Искомую составляющую 
получаем из этой функции путём умножения ординат 
на величину 
. Время 
получаем как частное от деления величины 
на 
. 
; 
.Таблица 1.4.3 — Значения для построения переходного процесса.
| t табл, | h табл, | t | h1(t) | t табл, | h табл, | t | h2(t) | t табл, | h табл, | t | h2(t) |
| 0 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 |
| 0,5 | 0,1760 | 0,0200 | 1,1733 | 0,5 | 0,2400 | 0,0100 | -0,2704 | 0,5 | 0,2400 | 0,0050 | -0,1296 |
| 1 | 0,3400 | 0,0400 | 2,2667 | 1 | 0,4610 | 0,0200 | -0,5194 | 1 | 0,4610 | 0,0100 | -0,2489 |
| 1,5 | 0,4940 | 0,0600 | 3,2933 | 1,5 | 0,6650 | 0,0300 | -0,7492 | 1,5 | 0,6650 | 0,0150 | -0,3591 |
| 2 | 0,6280 | 0,0800 | 4,1867 | 2 | 0,8330 | 0,0400 | -0,9385 | 2 | 0,8330 | 0,0200 | -0,4498 |
| 2,5 | 0,7390 | 0,1000 | 4,9267 | 2,5 | 0,9670 | 0,0500 | -1,0895 | 2,5 | 0,9670 | 0,0250 | -0,5222 |
| 3 | 0,8280 | 0,1200 | 5,5200 | 3 | 1,0610 | 0,0600 | -1,1954 | 3 | 1,0610 | 0,0300 | -0,5729 |
| 3,5 | 0,8920 | 0,1400 | 5,9467 | 3,5 | 1,1150 | 0,0700 | -1,2562 | 3,5 | 1,1150 | 0,0350 | -0,6021 |
| 4 | 0,9380 | 0,1600 | 6,2533 | 4 | 1,1420 | 0,0800 | -1,2867 | 4 | 1,1420 | 0,0400 | -0,6167 |
| 4,5 | 0,9600 | 0,1800 | 6,4000 | 4,5 | 1,1380 | 0,0900 | -1,2821 | 4,5 | 1,1380 | 0,0450 | -0,6145 |
| 5 | 0,9770 | 0,2000 | 6,5133 | 5 | 1,1170 | 0,1000 | -1,2585 | 5 | 1,1170 | 0,0500 | -0,6032 |
| 5,5 | 0,9860 | 0,2200 | 6,5733 | 5,5 | 1,0920 | 0,1100 | -1,2303 | 5,5 | 1,0920 | 0,0550 | -0,5897 |
| 6 | 0,9820 | 0,2400 | 6,5467 | 6 | 1,0510 | 0,1200 | -1,1841 | 6 | 1,0510 | 0,0600 | -0,5675 |
| 6,5 | 0,9800 | 0,2600 | 6,5333 | 6,5 | 1,0180 | 0,1300 | -1,1469 | 6,5 | 1,0180 | 0,0650 | -0,5497 |
| 7 | 0,9790 | 0,2800 | 6,5267 | 7 | 0,9930 | 0,1400 | -1,1188 | 7 | 0,9930 | 0,0700 | -0,5362 |
| 7,5 | 0,9800 | 0,3000 | 6,5333 | 7,5 | 0,9740 | 0,1500 | -1,0974 | 7,5 | 0,9740 | 0,0750 | -0,5260 |
| 8 | 0,9850 | 0,3200 | 6,5667 | 8 | 0,9660 | 0,1600 | -1,0884 | 8 | 0,9660 | 0,0800 | -0,5216 |
| 8,5 | 0,9890 | 0,3400 | 6,5933 | 8,5 | 0,9660 | 0,1700 | -1,0884 | 8,5 | 0,9660 | 0,0850 | -0,5216 |
| 9 | 0,9970 | 0,3600 | 6,6467 | 9 | 0,9700 | 0,1800 | -1,0929 | 9 | 0,9700 | 0,0900 | -0,5238 |
| 9,5 | 1,0040 | 0,3800 | 6,6933 | 9,5 | 0,9750 | 0,1900 | -1,0985 | 9,5 | 0,9750 | 0,0950 | -0,5265 |
| 10 | 1,0090 | 0,4000 | 6,7267 | 10 | 0,9820 | 0,2000 | -1,1064 | 10 | 0,9820 | 0,1000 | -0,5303 |
| 10,5 | 1,0130 | 0,4200 | 6,7533 | 10,5 | 0,9870 | 0,2100 | -1,1120 | 10,5 | 0,9870 | 0,1050 | -0,5330 |
| 11 | 1,0150 | 0,4400 | 6,7667 | 11 | 0,9970 | 0,2200 | -1,1233 | 11 | 0,9970 | 0,1100 | -0,5384 |
| 11,5 | 1,0160 | 0,4600 | 6,7733 | 11,5 | 0,9970 | 0,2300 | -1,1233 | 11,5 | 0,9970 | 0,1150 | -0,5384 |
| 12 | 1,0150 | 0,4800 | 6,7667 | 12 | 0,9970 | 0,2400 | -1,1233 | 12 | 0,9970 | 0,1200 | -0,5384 |
| 12,5 | 1,0130 | 0,5000 | 6,7533 | 12,5 | 0,9970 | 0,2500 | -1,1233 | 12,5 | 0,9970 | 0,1250 | -0,5384 |
| 13 | 1,0120 | 0,5200 | 6,7467 | 13 | 0,9970 | 0,2600 | -1,1233 | 13 | 0,9970 | 0,1300 | -0,5384 |
| 13,5 | 1,0110 | 0,5400 | 6,7400 | 13,5 | 0,9980 | 0,2700 | -1,1244 | 13,5 | 0,9980 | 0,1350 | -0,5389 |
| 14 | 1,0110 | 0,5600 | 6,7400 | 14 | 1,0000 | 0,2800 | -1,1267 | 14 | 1,0000 | 0,1400 | -0,5400 |
| 14,5 | 1,0120 | 0,5800 | 6,7467 | 14,5 | 1,0020 | 0,2900 | -1,1289 | 14,5 | 1,0020 | 0,1450 | -0,5411 |
| 15 | 1,0120 | 0,6000 | 6,7467 | 15 | 1,0050 | 0,3000 | -1,1323 | 15 | 1,0050 | 0,1500 | -0,5427 |
| 15,5 | 1,0140 | 0,6200 | 6,7600 | 15,5 | 1,0080 | 0,3100 | -1,1357 | 15,5 | 1,0080 | 0,1550 | -0,5443 |
| 16 | 1,0150 | 0,6400 | 6,7667 | 16 | 1,0110 | 0,3200 | -1,1391 | 16 | 1,0110 | 0,1600 | -0,5459 |
| 16,5 | 1,0160 | 0,6600 | 6,7733 | 16,5 | 1,0110 | 0,3300 | -1,1391 | 16,5 | 1,0110 | 0,1650 | -0,5459 |
| 17 | 1,0160 | 0,6800 | 6,7733 | 17 | 1,0120 | 0,3400 | -1,1402 | 17 | 1,0120 | 0,1700 | -0,5465 |
| 17,5 | 1,0150 | 0,7000 | 6,7667 | 17,5 | 1,0090 | 0,3500 | -1,1368 | 17,5 | 1,0090 | 0,1750 | -0,5449 |
| 18 | 1,0150 | 0,7200 | 6,7667 | 18 | 1,0080 | 0,3600 | -1,1357 | 18 | 1,0080 | 0,1800 | -0,5443 |
| 18,5 | 1,0150 | 0,7400 | 6,7667 | 18,5 | 1,0060 | 0,3700 | -1,1334 | 18,5 | 1,0060 | 0,1850 | -0,5432 |
| 19 | 1,0150 | 0,7600 | 6,7667 | 19 | 1,0010 | 0,3800 | -1,1278 | 19 | 1,0010 | 0,1900 | -0,5405 |
| 19,5 | 1,0140 | 0,7800 | 6,7600 | 19,5 | 0,9980 | 0,3900 | -1,1244 | 19,5 | 0,9980 | 0,1950 | -0,5389 |
| 20 | 1,0130 | 0,8000 | 6,7533 | 20 | 0,9960 | 0,4000 | -1,1222 | 20 | 0,9960 | 0,2000 | -0,5378 |
| 20,5 | 1,0120 | 0,8200 | 6,7467 | 20,5 | 0,9950 | 0,4100 | -1,1210 | 20,5 | 0,9950 | 0,2050 | -0,5373 |
| 21 | 1,0110 | 0,8400 | 6,7400 | 21 | 0,9950 | 0,4200 | -1,1210 | 21 | 0,9950 | 0,2100 | -0,5373 |
| 21,5 | 1,0110 | 0,8600 | 6,7400 | 21,5 | 0,9960 | 0,4300 | -1,1222 | 21,5 | 0,9960 | 0,2150 | -0,5378 |
| 22 | 1,0110 | 0,8800 | 6,7400 | 22 | 0,9960 | 0,4400 | -1,1222 | 22 | 0,9960 | 0,2200 | -0,5378 |
| 22,5 | 1,0110 | 0,9000 | 6,7400 | 22,5 | 0,9970 | 0,4500 | -1,1233 | 22,5 | 0,9970 | 0,2250 | -0,5384 |
| 23 | 1,0110 | 0,9200 | 6,7400 | 23 | 0,9980 | 0,4600 | -1,1244 | 23 | 0,9980 | 0,2300 | -0,5389 |
| 23,5 | 1,0100 | 0,9400 | 6,7333 | 23,5 | 0,9990 | 0,4700 | -1,1255 | 23,5 | 0,9990 | 0,2350 | -0,5395 |
| 24 | 1,0100 | 0,9600 | 6,7333 | 24 | 1,0000 | 0,4800 | -1,1267 | 24 | 1,0000 | 0,2400 | -0,5400 |
| 24,5 | 1,0090 | 0,9800 | 6,7267 | 24,5 | 1,0000 | 0,4900 | -1,1267 | 24,5 | 1,0000 | 0,2450 | -0,5400 |
| 25 | 1,0080 | 1,0000 | 6,7200 | 25 | 1,0000 | 0,5000 | -1,1267 | 25 | 1,0000 | 0,2500 | -0,5400 |
| 25,5 | 1,0080 | 1,0200 | 6,7200 | 25,5 | 1,0000 | 0,5100 | -1,1267 | 25,5 | 1,0000 | 0,2550 | -0,5400 |
| 26 | 1,0070 | 1,0400 | 6,7133 | 26 | 1,0000 | 0,5200 | -1,1267 | 26 | 1,0000 | 0,2600 | -0,5400 |
При помощи функции линейной интерполяции linterp, встроенной в математический пакет MathCAD, находим функции переходных характеристик, соответствующих каждой из трапеций, и производим их сложение.