Моделі відкритої мережі (стр. 2 из 7)
Таким чином, відповідно до визначення 1.3 і вищесказаному, побудована марковська модель відкритої мережі із трьома вузлами.
1.1 Рівняння глобальної рівноваги
Припустимо, що існує стаціонарний розподіл. Складемо рівняння рівноваги для стаціонарних ймовірностей
, які для мереж називаються глобальними рівняннями рівноваги (балансу).Зі стану
мережа може вийти або за рахунок надходження заявки в неї (інтенсивність 
), або за рахунок обслуговування заявки одним з вузлів, наприклад, 
- им (інтенсивність 
). Тому інтенсивність виходу зі стану 
для марковського процесу 
дорівнює 
, де 
- індикаторна функція множини 
. Отже, потік імовірності зі стану дорівнює: 
. (1.1.1)Увійти ж у стан
можна або зі стану 
, якщо в мережу надійде заявка, спрямована в перший вузол ( інтенсивність 
), або зі стану 
, якщо заявка завершить обслуговування в другому вузлі й піде з мережі ( інтенсивність 
), або, нарешті, зі станів 
, ( 
, 
), якщо заявка завершить обслуговування на першому, (другому, третьому) вузлі й перейде відповідно в другий, ( третій, перший) (інтенсивність 
, ( 
, 
)). Тому потік імовірності в стан 
. (1.1.2)Дорівнюючи потоки ймовірності зі стану
(формула 1.1.1) і в стан (формула 1.1.2), одержуємо глобальні рівняння рівноваги 
. (1.1.3)1.2 Відшукання стаціонарних ймовірностей
Складемо рівняння трафіка, використовуючи наступну формулу
, (1.2.1) 
,де
- імовірності переходу.Вирішимо отриману систему рівнянь
Таким чином, рівняння трафіка має єдине позитивне рішення
, тобто 
. Позитивне в тому розумінні, що 
.Розглянемо ізольований
-й вузол, уважаючи, що на нього надходить найпростіший потік заявок інтенсивності 
(див. малюнок 1.2.1). 
Малюнок 1.2.1
Він представляє із себе систему, що відрізняється від
тільки тем, що інтенсивність обслуговування 
залежить від числа заявок у ній 
, 
.Знайдемо стаціонарний розподіл для такого ізольованого процесу. Граф переходів зобразиться в такий спосіб.
Рівняння рівноваги для вертикальних перерізів мають вигляд ( на малюнку 1.2.2 воно зображено пунктирною лінією ).
, 
, 
,Тоді
.З умови
знаходимо, що 
.Таким чином,
, де рівні 
, (1.2.2) 
, (1.2.3) 
. (1.2.4)Стаціонарний розподіл
існує і єдино, якщо виконується умова ергодичності: 
і 
(1.2.5)Теорема 1.2.1.( Розкладання Джексона) Нехай рівняння трафіка (1.2.1) має єдине позитивне рішення
й виконане умова ергодичності (1.2.5). Тоді фінальні стаціонарні ймовірності станів мережі Джексона мають вигляд
, (1.2.6)де
визначаються по формулі 
, (1.2.7)у якій
визначається формулою 
. (1.2.8)Відповідно до теореми 1.2.1, стаціонарний розподіл представимо у формі добутку множників вузли, що характеризує; кожний множник є стаціонарний розподіл вузла, тобто
,де
з формули (1.2.2), 
з формули (1.2.3), 
з формули (1.2.4). Таким чином, стаціонарний розподіл має такий вигляд