
(1.2.9)
=

.
1.3 Достатня умова ергодичності
Теорема 1.3.1 (Теорема Фостера).
Регулярна Марковська ланцюг з безперервним часом і рахунковим числом станів ергодична

має нетривіальне рішення

таке, що

При цьому існує єдиний стаціонарний розподіл, що збігається з ергодичним. [2, с. 8-14]
Ергодичність досліджуємо відповідно до теореми 1.3.1. Розглянемо умови теореми.
Регулярність треба з того, що

.

,

,

.
Відповідно до малюнка 1.1, одержимо:

,

,

.
Таким чином, регулярність виконується.
Тому що всі стани повідомляються з нульовим, тобто в будь-який стан

можна перейти з нульового

й у

можна перейти з будь-якого стану, шляхом надходження, обслуговування й відходу заявок з мережі.
Примітка – тут ураховується, що матриця переходів

неприводима.
Як нетривіальне рішення системи рівнянь із теореми 1.3.1 візьмемо

. Тоді для ергодичності буде потрібно, щоб

. Тоді одержимо,

,
де

,

Останній ряд сходиться по ознаці порівняння, якщо сходиться ряд

Умова (1.3.1) і є шукана умова ергодичності. Якщо ця умова буде виконаються, то буде існувати єдиний стаціонарний розподіл, що збігається з ергодичним.
2. Полумарковська модель мережі із трьома вузлами
Нехай є відкрита мережа масового обслуговування, що складає із трьох вузлів, у яку надходить найпростіший потік заявок з параметром
. Причому, у першу систему масового обслуговування, що входить заявка надходить із імовірністю
. Часи обслуговування заявок в
-ом вузлі задані функцією розподілу часу обслуговування
-им приладом однієї заявки
,
. При цьому накладає наступна вимога
,
. (2.1)Дисципліни обслуговування заявок у системах мережі LCFS PR - заявка, що надходить в
-ий вузол, витісняє заявку із приладу й починає обслуговуватися. Витиснута із приладу заявка стає в початок черги. Схематично мережа зображена на малюнку 2.1.Стан мережі описується випадковим процесом
,де
,
,
- залишковий час обслуговування заявки, що коштує в
-ой позиції.Примітка. Випадковий процес
,де
- число заявок в
-ом вузлі в момент
, не є марковським процесом. Для марковизації процесу включаємо додаткові змінні. Щоб
був марковським процесом, додаткові змінні візьмемо, як залишкові часи від моменту часу
до повного завершення відповідних часів. Виходить, процес
- марковський процес.Таким чином, з вищесказаного треба, що побудовано полумарковська модель відкритої мережі із трьома вузлами.
2.1 Диференційно-різницеві рівняння Колмогорова
У відповідності методом диференціальних рівнянь і малюнком 2.1, складемо наступні рівняння
, (2.1.1)де
,
.Скористаємося наступними формулами:
,
[7]Тоді рівняння (2.1.1) запишуться в такий спосіб