Моделі відкритої мережі (стр. 3 из 7)
(1.2.9)=
.1.3 Достатня умова ергодичності
Теорема 1.3.1 (Теорема Фостера).
Регулярна Марковська ланцюг з безперервним часом і рахунковим числом станів ергодична
має нетривіальне рішення
таке, що 
При цьому існує єдиний стаціонарний розподіл, що збігається з ергодичним. [2, с. 8-14]Ергодичність досліджуємо відповідно до теореми 1.3.1. Розглянемо умови теореми.
Регулярність треба з того, що
. 
, 
, 
.Відповідно до малюнка 1.1, одержимо:
, 
, .Таким чином, регулярність виконується.
Тому що всі стани повідомляються з нульовим, тобто в будь-який стан
можна перейти з нульового 
й у можна перейти з будь-якого стану, шляхом надходження, обслуговування й відходу заявок з мережі.Примітка – тут ураховується, що матриця переходів
неприводима.Як нетривіальне рішення системи рівнянь із теореми 1.3.1 візьмемо
. Тоді для ергодичності буде потрібно, щоб 
. Тоді одержимо, 
,де
, 
Останній ряд сходиться по ознаці порівняння, якщо сходиться ряд
Умова (1.3.1) і є шукана умова ергодичності. Якщо ця умова буде виконаються, то буде існувати єдиний стаціонарний розподіл, що збігається з ергодичним.
2. Полумарковська модель мережі із трьома вузлами
Нехай є відкрита мережа масового обслуговування, що складає із трьох вузлів, у яку надходить найпростіший потік заявок з параметром
. Причому, у першу систему масового обслуговування, що входить заявка надходить із імовірністю 
. Часи обслуговування заявок в 
-ом вузлі задані функцією розподілу часу обслуговування -им приладом однієї заявки 
, 
. При цьому накладає наступна вимога
, . (2.1)Дисципліни обслуговування заявок у системах мережі LCFS PR - заявка, що надходить в
-ий вузол, витісняє заявку із приладу й починає обслуговуватися. Витиснута із приладу заявка стає в початок черги. Схематично мережа зображена на малюнку 2.1.Стан мережі описується випадковим процесом
,де
, 
, 
- залишковий час обслуговування заявки, що коштує в 
-ой позиції.Примітка. Випадковий процес
,де
- число заявок в -ом вузлі в момент 
, не є марковським процесом. Для марковизації процесу включаємо додаткові змінні. Щоб 
був марковським процесом, додаткові змінні візьмемо, як залишкові часи від моменту часу до повного завершення відповідних часів. Виходить, процес - марковський процес.Таким чином, з вищесказаного треба, що побудовано полумарковська модель відкритої мережі із трьома вузлами.
2.1 Диференційно-різницеві рівняння Колмогорова
У відповідності методом диференціальних рівнянь і малюнком 2.1, складемо наступні рівняння
, (2.1.1)де
, 
.Скористаємося наступними формулами:
,
[7]Тоді рівняння (2.1.1) запишуться в такий спосіб
