Моделі відкритої мережі (стр. 3 из 7)

(1.2.9)

=

.

1.3 Достатня умова ергодичності

Теорема 1.3.1 (Теорема Фостера).

Регулярна Марковська ланцюг з безперервним часом і рахунковим числом станів ергодична

має нетривіальне рішення

таке, що При цьому існує єдиний стаціонарний розподіл, що збігається з ергодичним. [2, с. 8-14]

Ергодичність досліджуємо відповідно до теореми 1.3.1. Розглянемо умови теореми.

Регулярність треба з того, що

.

, , .

Відповідно до малюнка 1.1, одержимо:

, , .

Таким чином, регулярність виконується.

Тому що всі стани повідомляються з нульовим, тобто в будь-який стан

можна перейти з нульового й у можна перейти з будь-якого стану, шляхом надходження, обслуговування й відходу заявок з мережі.

Примітка – тут ураховується, що матриця переходів

неприводима.

Як нетривіальне рішення системи рівнянь із теореми 1.3.1 візьмемо

. Тоді для ергодичності буде потрібно, щоб . Тоді одержимо,

,

де

,

Останній ряд сходиться по ознаці порівняння, якщо сходиться ряд

Умова (1.3.1) і є шукана умова ергодичності. Якщо ця умова буде виконаються, то буде існувати єдиний стаціонарний розподіл, що збігається з ергодичним.

2. Полумарковська модель мережі із трьома вузлами

Нехай є відкрита мережа масового обслуговування, що складає із трьох вузлів, у яку надходить найпростіший потік заявок з параметром

. Причому, у першу систему масового обслуговування, що входить заявка надходить із імовірністю . Часи обслуговування заявок в -ом вузлі задані функцією розподілу часу обслуговування -им приладом однієї заявки , . При цьому накладає наступна вимога

, . (2.1)

Дисципліни обслуговування заявок у системах мережі LCFS PR - заявка, що надходить в

-ий вузол, витісняє заявку із приладу й починає обслуговуватися. Витиснута із приладу заявка стає в початок черги. Схематично мережа зображена на малюнку 2.1.

Стан мережі описується випадковим процесом

,

де

, , - залишковий час обслуговування заявки, що коштує в -ой позиції.

Примітка. Випадковий процес

,

де

- число заявок в -ом вузлі в момент , не є марковським процесом. Для марковизації процесу включаємо додаткові змінні. Щоб був марковським процесом, додаткові змінні візьмемо, як залишкові часи від моменту часу до повного завершення відповідних часів. Виходить, процес - марковський процес.

Таким чином, з вищесказаного треба, що побудовано полумарковська модель відкритої мережі із трьома вузлами.

2.1 Диференційно-різницеві рівняння Колмогорова

У відповідності методом диференціальних рівнянь і малюнком 2.1, складемо наступні рівняння

, (2.1.1)

де

, .

Скористаємося наступними формулами:

,

[7]

Тоді рівняння (2.1.1) запишуться в такий спосіб