Методичні підходи до обробки ЕЕГ (стр. 2 из 2)

.

Зі збільшенням

функція автокореляції у всіх сигналів, крім періодичних, спадає (не обов'язково монотонно). Отже, функція автокореляції представляється симетричною кривою з центральним максимумом, що завжди позитивний. При цьому, в залежності від виду сигналу , функція автокореляції може мати як монотонно спадаючий, так і коливний характер.

Рис. 4 пояснює побудову функції автокореляції прямокутного імпульсу, що зображений на рис. 4а. На рис. 4б наведена зміщена на

(убік відставання) копія сигналу, а на рис. 4в – їхній добуток . Автокореляційна функція для кожного значення чисельно дорівнює площі під кривою добутку імпульсу і його копії, зміщена у часі. Функція автокореляції прямокутного імпульсу має вид трикутника з основою 2 , висота якого визначається енергією сигналу (рис. 4г).

Рисунок 4 – Розрахунок функції автокореляції

Для сигналів, що мають нескінченно велику енергією та обмежених за потужністю, автокореляційна функція визначається в одиницях потужності

.

Відповідно, значення

дорівнює середній потужності сигналу

.

При визначенні АКФ періодичної функції усереднення проводиться за її періодом

, тобто

.

Автокореляційна функція періодичного сигналу сама є періодичною функцією з тим самим періодом (рис. 5а).

Дійсно, оскільки періодична функція задовольняє умові

, де – період, а , то

.

Наприклад, для гармонійного сигналу

автокореляційна функція виражається у вигляді

.

При

автокореляційна функція визначає середню потужність гармонійного коливання з амплітудою . З отриманого виразу видно, що автокореляційна функція не залежить від початкової фази коливання.

На рис. 5 наведені графіки автокореляційної функцій деяких сигналів.

	γp (τ) – АКФ за потужністю. Має вигляд косинусоїди незалежно від початкової фази сигналу s(t).
	γЕ (τ) – АКФ за енергією. Е – енергія сигналу.
	Огинача АКФ збігається за формою з ΨЕ (τ) для прямокутного імпульсу.
	Період ΨЕ (τ) збігається з періодом s(t), форма згинаючої АКФ збігається з огинаючою АКФ меандра.
	Р– середня потужність сигналу s(t).

Рисунок 5 – Графіки автокореляційної функцій деяких сигналів

4. Дискретна функція автокореляції

Змінимо формулу (6) таким чином, щоб мати можливість обчислити дискретний аналог автокореляційної функції стосовно дискретних сигналів. Зрозуміло, що операція інтегрування тут має бути замінена підсумовуванням, а замість змінної

слід використовувати ціле число , що вказує, на скільки позицій копія зміщена відповідно вихідного сигналу. Запишемо дискретну функцію автокореляції у вигляді

.

Ця функція цілісночисельного аргументу

, природно, має властивості звичайної автокореляційної функції. Так, легко бачити, що дискретна функція автокореляції парна:

.

При нульовому зміщенні дискретна функція автокореляції перетворюється в енергію дискретного сигналу:

.

5. Теорема Вінера-Хінчина

Функція автокореляції та енергетичний спектр стаціонарного випадкового процесу, що має нульове математичне очікування, пов'язані між собою перетворенням Фур'є (теорема, доведена у 1934р. відомими математиками: радянським – А.Я. Хінчиним і американським – Норбертом Вінером одночасно)

.

Звідси можна отримати зворотне перетворення

. (7)

Білий шум

Під білим шумом прийнято розуміти стаціонарний випадковий процес з постійним на всіх частотах енергетичним спектром:

.

Термін «білий шум» підкреслює аналогію з «білим» природним світлом, у якого в межах видимого діапазону інтенсивність усіх спектральних компонентів приблизно однакова.

За теоремою Вінера – Хінчина, функція автокореляції білого шуму дорівнює

,

що говорить про необмежено велику середню потужність білого шуму.

Білий шум називають також дельта-корельованим випадковим процесом. Некорельованість миттєвих значень реалізацій такого випадкового сигналу означає необмежено велику швидкість зміни їх у часі: яким би малим не був інтервал

, миттєве значення сигналу за цей час може змінитися на будь-яку заздалегідь задану величину.

Білий шум є абстрактною математичною моделлю і відповідний йому фізичний процес у природі не існує. Однак це не заважає приблизно заміняти реальні досить широкосмугові випадкові процеси білим шумом.

Розглянемо шум, обмежений за частотою, і такий, що має спектральну щільність вигляду (рис. 6а)

За формулою Вінера–Хінчина можна знайти функцію автокореляції

.

Вигляд функції автокореляції цього шуму наведений на рис. 6б.

Рисунок 6 – Спектр і функція автокореляції