Оптимальные линейные системы (стр. 1 из 3)

Оптимальные линейные системы

Типичной прикладной задачей статистической радиотехники является оптимизация системы обработки сигнала

, присутствующего на входе совместно с шумом, описываемым случайным процессом . В зависимости от цели обработки (обнаружение сигнала, различение двух или более сигналов, измерение параметров сигнала и т.п.) выбор оптимальной системы осуществляется на основе различных критериев оптимальности.

1. Параметрическая оптимизация

Простейшим методом оптимизации по заданному критерию является параметрическая оптимизация, когда, в случае линейной системы, вид функциональной зависимости импульсного отклика системы от времени

или функции передачи системы в частотной области считаются заданными с точностью до конечного числа неизвестных параметров этих зависимостей. Таким образом, структура линейной системы считается известной, необходимо определить лишь оптимальные значения тех или иных параметров этой структуры.

Другим методом оптимизации линейной системы является полная оптимизация по заданному критерию, когда неизвестными являются функции

, , или, иначе говоря, неизвестны не только параметры, но и сама структура системы. В этом случае целью оптимизации является нахождение оптимальных функций или .

Заметим, что вопрос оптимальности полученной системы в классе любых других возможных систем (не принадлежащих к классу линейных) при любом из таких методов оптимизации остается открытым.

Рассмотрим эти методы оптимизации на конкретных примерах.

2. Параметрическая оптимизация по критерию максимума отношения сигнал/шум

Рассмотрим обработку сигнала

вида

на фоне «белого шума»

, имеющего энергетический спектр вида

.

В качестве критерия оптимальности выберем критерий максимума отношения

сигнала к шуму в некоторый момент времени на выходе линейной системы. Подобная задача возникает в случае, когда, например, важным является обнаружение полезного сигнала, причем восстановление его формы (воспроизведение сигнала) не является необходимым.

Пусть

и ‑ соответственно сигнал и шум на выходе рассматриваемой линейной системы. Тогда в момент :

.

Выберем в качестве примера линейную систему, имеющую импульсный отклик

причем целью оптимизации является выбор значения

, обеспечивающего максимальное значение величины .

Полезный сигнал

на выходе системы определяется выражением:

Подставляя импульсный отклик

рассматриваемой линейной системы, получаем:

Итак,

при

С другой стороны, как было показано в 3,

Тогда в момент

.

После дифференцирования

по получаем уравнение для определения :

,

откуда

При этом

или

где

и ‑ энергия полезного сигнала.

3.Параметрическая оптимизация по критерию минимума среднеквадратической ошибки воспроизведения полезного сигнала

Пусть теперь полезным сигналом является реализация некоторого случайного процесса

. Это может быть реализация сообщения при передаче речи или изображения, реализация сигнала в системе телеметрии и т.п. В таких условиях важным является не факт обнаружения полезного сигнала, а его воспроизведение на выходе линейной системы с возможно более высокой точностью. Поэтому в качестве критерия оптимальности целесообразно выбрать критерий минимума среднеквадратической ошибки (СКО) воспроизведения полезного сигнала на выходе линейной системы.

Пусть энергетические спектры процессов

и равны соответственно

Полная ошибка

воспроизведения сигнала на выходе линейной системы описывается случайным процессом вида:

,

где

‑ искажение сигнала в результате прохождения процесса через рассматриваемую линейную систему.

Среднеквадратическая ошибка

, очевидно, равна:

где

‑ энергетический спектр процесса . В свою очередь по определению (см. 3.4):

где

‑ спектр отрезка (длительностью ) произвольной -ой реализации процесса . Очевидно,

где

и ‑ спектры отрезков (длительностью ) -ой реализации процессов и , а ‑ функция передачи рассматриваемой линейной системы в частотной области. Тогда