Замкнутые сети с многорежимными стратегиями обслуживания (стр. 1 из 5)
Курсовая работа
"Замкнутые сети с многорежимными стратегиями обслуживания"
Важными задачами для развития современного общества являются сбор, обработка, хранение и распространение информации. Передача информации представляет собой основу для решения этих задач и потому требует тщательного изучения. Адекватное описание процесса передачи информации с помощью математических моделей может быть осуществлено в рамках теории массового обслуживания. При этом для многих реальных систем такой процесс моделируется посредством сетей массового обслуживания. Например, к указанному результату приводит математическое моделирование мультипрограммных вычислительных систем и анализ их производительности, проектирование и анализ сетей передачи данных и сетей ЭВМ.
В начале XX века датский ученый А.К. Эрланг, работавший на копенгагенской телефонной станции, поставил и решил ряд новых математическтх задач, позволивших оценивать характеристики телефонных и телеграфных линий связи. Это способствовало возникновению нового направления в теории вероятностей – теории массового обслуживания. На начальной стадии своего развития теория массового обслуживания имела дело с системами массового обслуживания, которые описываются потоками однородных заявок, поступающих в систему, процедурами обслуживания с помощью одного или нескольких каналов, процедурами формирования очередей и способами организации процесса ожидания заявок. Строгое научное описание случайных процессов в теории массового обслуживания и их всестороннее исследование впервые было осуществлено А.Я. Хинчиным. Он исследовал одноканальную систему с ожиданием, простейшим входным потоком и рекуррентным обслуживанием, установив для нее так называемый основной закон стационарной очереди: стационарное распределение числа заявок в системе совпадает с их стационарным распределением в случайные моменты ухода заявок из системы. Большой вклад в развитие теории массового обслуживания внесли Ю.К. Беляев, А.А. Боровков, Б.В. Гнеденко, Н. Джейсуолл, Дж.Р. Джексон, Ф.П. Келли, Дж. Кендалл, Дж.Ф.С. Кингмэн, Л. Клейнрок, Г.П. Климов, И.Н. Коваленко, С. Пальм, Ф. Поллачек, Ю.В. Прохоров, Дж. Риордан, Т. Саати, В.Л. Смит и др.
В 1957 г. Дж.Р. Джексон впервые ввел в рассмотрение понятие открытой сети массового обслуживания ([99]), а в 1967 г. Гордон и Ньюэлл ввели аналогичное понятие замкнутой сети ([91]). В отличие от системы массового обслуживания сеть представляет собой более сложное образование, состоящее из систем массового обслуживания, называемых узлами сети, которые взаимодействуют между собой с помощью некоторого вероятностного механизма. В открытых сетях заявки могут поступать извне, а также уходить из сети. В замкнутых сетях сохраняется постоянное число заявок, которые с помощью случайной маршрутизации могут перемещаться между узлами сети; при этом поступление заявок в сеть и уход заявок из сети невозможны.
Результаты Джексона и Гордона-Ньюэлла не использовались до тех пор, пока в 1971 г. Ф.Р. Мур [115] не обнаружил, что замкнутые сети адекватно описывают вычислительные системы со многими ресурсами. С этого момента теория сетей обслуживания стала быстро развиваться благодаря задачам, связанным с математическим моделированием мультипрограммных вычислительных систем и анализом их производительности, с проектированием и анализом сетей передачи данных и сетей ЭВМ. Дополнительный толчок к дальнейшему развитию теории дала разработка и использование в повсеместной практике различных глобальных и локальных сетей таких, например, как EZERNET, INTERNET и т.д. Значительный вклад в развитие теории сетей внесли Г.П. Башарин, А.А. Боровков, Э. Геленбе, Дж. Джексон, В.А. Ивницкий, Ф.П. Келли, Д. Кениг, Л. Клейнрок, Ю.В. Малинковский, М. Миязава, Б. Меламед, Р. Мюнтц, С.Е.М. Перс, П.К. Поллетт, А.Н. Рыбко, Р. Серфозо, Ю.М. Сухов, П. Тейлор, А.Л. Толмачев, Д. Тоусли, П. Уиттли, Дж. Уолрэнд, Г.И. Фалин, В. Хендерсон, Х. Чао, К. Ченди, Р. Шассбергер и многие другие.
Состояние сети массового обслуживания обычно характеризуется вектором, координаты которого описывают состояния отдельных узлов сети. В силу многомерности случайного процесса состояний и статистической зависимости между координатами исследование сетей массового обслуживания на порядок сложнее, чем исследование систем массового обслуживания. Даже в случае экспоненциальных сетей, когда случайный процесс состояний является марковским, его эргодическое стационарное распределение удовлетворяет настолько сложной системе уравнений, что решить ее удается в основном только тогда, когда решение имеет форму произведеня. Множители в этом произведении зависят только от свойств индивидуальных узлов. В имеющейся литературе по стационарному распределению экспоненциальных сетей практически не рассматриваются сети с ненадежными или частично ненадежными приборами. В считанных работах рассмотрены только очень частные вырожденные случаи и то для сетей, состоящих из двух узлов. В то же время в практических ситуациях оборудование может частично или полностью выходить из строя. Например, при работе на персональном компьютере очень часто нарушаются функциональные связи между некоторыми файлами, программами или другими элементами, хотя компьютер продолжает работать. Налицо частичная потеря работоспособности, а значит, уменьшение интенсивности обслуживания.
Поэтому в диссертационной работе предпринята попытка построения моделей, адекватно описывающих такую ситуацию. Рассмотрены экспоненциальные сети с многорежимными стратегиями обслуживания, в которых обслуживающие устройства в узлах частично ненадежны и в различных режимах функционирования работают с разными интенсивностями. Для таких сетей находится инвариантная вероятностная мера в мультипликативной форме.
1. Сети с переключением режимов при определенном количестве заявок в узле
Рассматриваются замкнутые сети массового обслуживания с экспоненциальным обслуживанием в узлах и марковской маршрутизацией. Однолинейные узлы могут работать в нескольких режимах, время переключения с одного режима на другой имеет показательное распределение. Переключение происходит только на соседние режимы и с определенными ограничениями на переключения в отдельных режимах. Устанавливается достаточное условие мультипликативности стационарного распределения состояний сети.
Пусть
, где 
. На фазовом пространстве 
задан многомерный марковский процесс 
, где 
, своими инфинитезимальными интенсивностями перехода 
Интенсивности перехода из состояния
во все состояния, отличные от вышеперечисленных, предполагаются равными нулю. Здесь 
при 
и 
при 
и 
.Марковский процесс
описывает замкнутую сеть, в которой циркулирует 
заявок. В 
-м узле находится единственный экспоненциальный прибор с интенсивностью обслуживания 
, зависящей от состояния узла. Заявка, обслуженная в -м узле, переходит с вероятностью 
в 
-й узел. Как и в случае открытых сетей компонента 
выражает число заявок в -м узле, а компонента 
– номер режима работы прибора. Прибор -го узла может работать в 
режимах 
с показательно распределенным временем пребывания в них; 
– интенсивность увеличения номера режима на единицу, 
– интенсивность уменьшения номера режима на единицу.Глобальные уравнения равновесия для стационарных вероятностей этого марковского процесса имеют следующую форму:
