Оптимальність у системах керування (стр. 2 из 4)

– лінійний простір кусково-неперервних на

функцій.

Крайові умови задачі мають вигляд:

Потрібно знайти таке припустиме керування

, що переводить систему зі стану

у стан

, причому відповідний припустимий процес

доставляє мінімальне значення функціоналу

де функції

неперервні по сукупності всіх змінних і неперервно-диференційовані по змінних

Вважатимемо, що функція Понтрягіна

для цієї задачі є лінійною за частиною компонент вектора

. Виділимо із цих компонент групу з

керувань (з тих, за якими функція

лінійна) і позначимо їх через

, а інші

керувань зберемо у вектор

(він також може включати компоненти, за якими функція

лінійна). За таких умов закон руху набуває вигляду:

де

Складемо функцію Понтрягіна для даної задачі:

Очевидно, що

. (8)

Припустимо, що процес

разом з розв’язком

спряженої системи

, (9)

задовольняє принципу максимуму і, крім того, припустимо, що у всіх точках деякого інтервалу

має місце рівність

, (10)

або, враховуючи (10),

. (11)

Ця ситуація означає, що коефіцієнти при

на деякому часовому відрізку дорівнюють 0, і оптимальне керування визначити неможливо. У цьому випадку вектор керувань

називається особливим керуванням на відрізку

, процес

– особливим режимом, траєкторія

– траєкторією особливого режиму, а відрізок часу

– ділянкою особливого керування.

З формули (11) випливає, що на ділянці особливого режиму функція Понтрягіна не залежить від

. Дійсно,

Тому в даній ситуації умова максимуму по

не дає жодної інформації про конкретні значення керувань

Оскільки на ділянці особливого режиму має місце співвідношення (11), то очевидно, що

і т.д. Останні співвідношення разом з умовою (10) дозволяють визначити всі особливі режими.

3. Лінійна задача оптимальної швидкодії

Розглянемо лінійну задачу оптимальної швидкодії:

, (12)

де

– числові матриці розмірності

та

відповідно.

Область керування задачі

– замкнутий обмежений багатогранник в

, (13)

Якщо для будь-якого вектора

, паралельного будь-якому ребру багатогранника

, система векторів

, …,

(14)є лінійно незалежною, то багатогранник

задовольняє умові спільності положення відносно системи (14).

Для перевірки лінійної незалежності векторів (13) достатньо перевірити, чи матриця, стовпцями якої є стовпці (12), є невиродженою, тобто

Перепишемо формулу (10):

де

–

-і рядки матриць

Функція Понтрягіна лінійної задачі оптимальної швидкодії має вигляд:

(15)

Оскільки перший доданок у формулі (15) не залежить від

, то функція

досягає максимуму за змінною

одночасно з функцією

Спряжена система у цьому випадку може бути записана у вигляді:

або у векторній формі

. (16)

Позначимо через

. З теореми 2 випливає, що якщо

– оптимальне керування, то існує такий ненульовий розв’язок

системи (16), для якого в кожний момент часу функція

набуватиме максимального значення за змінною