Последовательные правила обнаружения (стр. 1 из 2)

6.Последовательные правила обнаружения.

6.1. Общие положения. Последовательный критерий отношения правдоподобия.

Рассмотренное правило Неймана-Пирсона предполагает, что задача проверки статистических гипотез решается однократно, после получения выборки заранеезаданного объёма

. Как уже упоминалось, существует другой подход к решению этой задачи, при котором возможность принятия решения в пользу гипотезы или проверяется многократно, по мере получения каждого нового элемента выборки или группы таких элементов, т.е. процедура проверки гипотез носит последовательный характер.

При последовательном различении статистических гипотез длякаждого

шага, на котором делается попытка вынести решение, должны быть определены три области выборочных значений: область принятия гипотезы , область принятия гипотезы и областьнеопределённости, которой соответствует решение о продолжении наблюдения, поскольку информации содержащейся в полученной выборке недостаточно для принятия решения с заданными вероятностями ошибок и . Возможность продолжения или прекращения наблюдения в зависимости от результатов наблюдения, являющихся случайными, приводит к тому, что длительность последовательной процедуры также является случайной величиной.

Описанная общая идея последовательной проверки гипотез может быть реализована в виде различных решающих правил. Наиболее широко известно и хорошо изучено решающее правило, предложенное А.Вальдом и названное им “последовательным критерием отношения вероятностей (отношения правдоподобия)”. Это правило предписывает сравнение отношения правдоподобия

, полученного на каждом шаге, с двумя постоянными порогами и . В зависимости от результатов этого сравнения выносятся следующие решения:

(6.1)

где

- решение о продолжении наблюдения.

Таким образом, в пространстве решающей статистики

область значений соответствует гипотезе , область - гипотезе , а область является областью неопределенности (продолжения наблюдения).

Вальд совместно с Вольфовитцем доказал теорему, согласно которой описпнное правило является оптимальным в том смысле, что требует минимального (в среднем) объема выборки по сравнению с любым другим решающим правилом, обеспечивающим те же вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения. При доказательстве теореме Вальда-Вольфовитца предполагалось, что различаемые гипотезы являются простыми, выборка

- однородной и независимой, “перескок” статистики за порог в момент принятия решения может считаться пренебрежимо малым. (Напомним, что однородной называется выборка, распределение которой не зависит от времени). При более широких условиях оптимальные свойства вальдовского правила могут утрачиваться, однако во многих случаях оно является квазиоптимальным. Доказано также, что с вероятностью равной единице, вальдовская последовательная процедура завершается за конечное время.

6.2. Расчет параметров вальдовской процедуры.

Решающие пороги вальдовской процедуры могут быть найдены на основе следующих рассуждений. Условие принятия решения в пользу гипотезы

, может быть представлено в виде . Поскольку это условие справедливо для любой выборки, попадающей в область , можно проинтегрировать последнее неравенство по этой области:

.

Интеграл, стоящий слева от знака неравенства выражает вероятность правильного обнаружения

, справа – вероятность ложной тревоги , таким образом или

(14.2)

Последнее неравенство дает оценку сверху величины порога

.

Аналогичным образом, интегрируя условие принятия решения в пользу гипотезы

по области выборочных значений, приводящих к такому решению получаем:

.

Интеграл, стоящий слева от знака неравенства в этом случае выражает вероятность пропуска цели

, справа – вероятность правильного необнаружения , поэтому или

(14.3)

Обратим внимание, что в отличие от решающего порога процедуры Неймана-Пирсона, для расчета которого необходимо задаться видом и параметрами распределений

, полученные выражения полностью определяются значениями вероятностей ошибок и и независятотвидаразличаемыхраспределений. Однако это утверждение справедливо только при условии, что “перескоком” статистики за порог можно пренебречь, т.е. неравенства могут быть заменены равенствами. Указанное условие справедливо в случае близких гипотез, когда среднее приращение статистики на один элемент выборки мало, соответственно, пренебрежимо мал и “перескок”. В общем случае, когда “перескоком” пренебрегать нельзя, вероятности ошибок зависят от его распределения, следовательно, и от распределений . Пороги, рассчитанные по вальдовским формулам, в этом случае существенно “завышают” вероятности ошибок по сравнению с их истинными значениями. Расчет оптимальных порогов при наличии перескока возможен с применением численных методов или математического моделирования.

Для удобства и наглядности дальнейшего изложения заменим статистику отношения правдоподобия ее логарифмом

с соответствующей заменой решающих порогов Вальдовскоее решающее правило при этом имеет вид:

Укрупненная функциональная схема устройства, реализующее вальдовское правило при этом имеет вид

Вычислитель Решающей статистики

Накопитель

Решающееустройство

На рисунках приведены некоторые примеры построения областей принятия решений и продолжения наблюдения в пространстве статистики

для последовательных решающих правил, а также правила Неймана-Пирсона.