Мультипликативность стационарного распределения в открытых сетях с многорежимными стратегиями (стр. 3 из 8)

где

– интенсивность перехода системы из состояния в состояние . Известно, что для систем с простейшим входящим потоком обратимость влечет квазиобратимость. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Для рассматриваемой нами задачи условие квазиобратимости (2.1.9) принимает вид

а условие обратимости (2.1.10) – форму

Лемма 1.1 [43, C.131]. Если для рассматриваемой системы входящий поток является простейшим, то обратимость и квазиобратимость эквивалентны.

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Достаточно показать, что при выполнении (2.1.3) – (2.1.8) из (2.1.11) следует (2.1.12). Сначала докажем, что для всех

выполняется (2.1.12) при , т.е. равенство

При

соотношение (2.1.13) следует из (2.1.3) и соотношения (2.1.11), в котором . Предположим, что (2.1.13) выполняется для некоторого , т.е.

Тогда из (2.1.4) с учетом (2.1.14) и (2.1.11) при

следует (2.1.9). Итак, (2.1.9) доказано с помощью индукции по .

Теперь докажем, что для всех

выполняется (2.1.12) при . При соотношение (2.1.12) следует из (2.1.6) и (2.1.11). Предположим, что (2.1.12) верно для некоторого , т.е.

Тогда (2.1.12) вытекает из (2.1.7), (2.1.11) и (2.1.15). Лемма доказана.

Лемма 1.2 [43, C.131]. Для квазиобратимости изолированного узла необходимо и достаточно выполнения условий

При выполнении (2.1.16) для эргодичности

достаточно, чтобы

Финальное стационарное распределение процесса

определяется соотношениями

где предполагается, что произведение, в котором нижний индекс больше верхнего, равно единице, а

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Рассмотрим случайное блуждание по точкам с целочисленными координатами первого квадранта плоскости с возможными переходами в соседние (слева, справа, сверху, снизу) состояния и обычной модификацией для точек на координатных осях. Покажем, что для его обратимости необходимо и достаточно, чтобы для всех

что выражает равенство произведения интенсивностей перехода по замкнутому пути, проходящему через вершины элементарного квадрата

и ведущему из вершины в себя по часовой стрелке, такому же произведению интенсивностей по пути против часовой стрелки. Известно , что для обратимости стационарного марковского процесса необходимо и достаточно, чтобы выполнялось циклическое условие Колмогорова: для любых различных состояний

Более того, известно, что для обратимости достаточно, чтобы условие (2.1.21) выполнялось для любых замкнутых путей из

в без самопересечений. Равенство (2.1.20) есть условие Колмогорова (2.1.21) для четырехзвенных путей, проходящих через вершины элементарного квадрата. Это доказывает необходимость условия (2.1.20). Предположим, что (2.1.20) выполнено. Любой замкнутый путь из в без самопересечений либо а) представляет собой некоторую однозвенную замкнутую дугу, либо б) проходит по границе некоторой фигуры, составленной из конечного числа примыкающих друг к другу элементарных квадратов. Для случая а) циклическое условие (2.1.21) выполняется автоматически. В случае б) перемножим равенства (2.1.20) для всех элементарных квадратов, из которых состоит упомянутая фигура. При этом интенсивности перехода для тех направленных дуг, которые не принадлежат границе фигуры, войдут множителями как в левую, так и в правую части. После сокращения на них получится циклическое условие (2.1.21) для путей, идущих по границе фигуры по и против часовой стрелки. Достаточность условия (2.1.20) доказана.

Для рассматриваемого нами блуждания (2.1.20) превращается в (2.1.16), что доказывает первое утверждение леммы 2.2.

Из (2.1.11) следует, что

а из (2.1.12) вытекает, что

Подстановка (2.1.23) в (2.1.22) доказывает (2.1.18). Достаточность сходимости ряда (2.1.17) для эргодичности

вытекает из теоремы Фостера . Лемма 2.2 доказана.

Стационарное распределение сети

Следуя [32,33],

-й узел назовем терминальным или оконечным, если . Основной результат формулируется следующим образом.

Теорема 1.1 [43, C.132]. Для того, чтобы стационарное распределение открытой сети с многорежимными стратегиями обслуживания в узлах представлялось в форме произведения (2.1.2), необходимо и достаточно, чтобы в нетерминальных узлах выполнялось условие

При выполнении этого условия для эргодичности марковского процесса

, описывающего поведение сети, достаточно, чтобы сходился ряд

где

– положительное решение уравнения трафика (2.1.1),

причем для случаев, когда

не определены, они полагаются равными нулю.

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. В

для открытых сетей с «заявкосохраняющими» узлами установлено, что для мультипликативности стационарного распределения необходимо и достаточно, чтобы нетерминальные узлы являлись квазиобратимыми. Поэтому, с учетом условия квазиобратимости (2.1.16) для изолированного узла, которое для узла с номером принимает форму (2.1.24), имеет место первое утверждение теоремы.

Докажем, что при выполнении условия (2.1.24) процесс

эргодичен. Как отмечалось ранее, неприводим. Остается воспользоваться эргодической теоремой Фостера , согласно которой достаточно проверить, что система уравнений