Мультипликативность стационарного распределения в открытых сетях с многорежимными стратегиями (стр. 5 из 8)

Глобальные уравнения равновесия для стационарных вероятностей этого марковского процесса имеют следующую форму:

В 2.1 исследовался случай

при при . Однако на практике возможна ситуация, когда при определенных числах заявок в узлах режимы могут меняться, а при других числах – нет. Поэтому рассмотрим более общий случай, когда для каждого узла существует конечное или счетное множество индексов такое, что для всех , у которых для некоторого и для всех иного вида (фактически в 2.1 рассматривался случай ).

Пусть

– положительное решение уравнения трафика

Рассмотрим марковский процесс

на фазовом пространстве , заданный инфинитезимальными интенсивностями

для всех иных состояний

считаем, что . Процесс описывает изолированный узел в фиктивной окружающей среде, в которой на узел посылается стационарный пуассоновский поток с параметром , где найдено из уравнения трафика (2.2.1). Уравнения равновесия для стационарных вероятностей марковского процесса, описывающего такой узел, имеют следующий вид:

для

для

для

Мы свяжем стационарное распределение

процесса со стационарными распределениями процессов и будем интересоваться необходимыми и достаточными условиями выполнения равенства

Лемма 2.3. Если для рассматриваемой системы входящий поток является простейшим, то обратимость и квазиобратимость эквивалентны.

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Для изолированного узла условие квазиобратимости (2.1.9) принимает вид

а условие обратимости (2.1.10) – форму

и для

Достаточно показать, что при выполнении (2.2.2) – (2.2.7) из (2.2.9) следует (2.2.10). Пусть

при некотором фиксированном . Докажем, что тогда для всех выполняется (2.2.10). При соотношение (2.2.10) следует из (2.2.4) и соотношения (2.2.9) для состояний и . Предположим, что (2.2.10) выполняется для некоторого , т.е.

Тогда из (2.2.5) с учетом (2.2.11) и (2.2.9) для состояний

и вытекает (2.2.10). Итак, (2.2.10) доказано с помощью индукции по . Лемма доказана.

Лемма 2.4 [45, C.184]. Для квазиобратимости изолированного

-го узла необходимо и достаточно выполнения условий

а) для

при некотором

б) для всех

При выполнении (2.2.12) для эргодичности

достаточно, чтобы сходился ряд

где

. Финальное стационарное распределение процесса

определяется соотношениями

где предполагается, что произведение, в котором нижний индекс больше верхнего, равно единице, а

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Рассмотрим случайное блуждание по точкам с целочисленными координатами первого квадранта плоскости, задаваемое уравнениями (2.2.2) – (2.2.7). Как уже ранее говорилось, для обратимости стационарного марковского процесса необходимо и достаточно, чтобы выполнялось циклическое условие Колмогорова: для любых различных состояний

Более того, известно, что для обратимости достаточно, чтобы условие (2.2.18) выполнялось для любых замкнутых путей из

в без самопересечений. Равенство (2.2.12) есть условие Колмогорова (2.2.18) для четырехзвенных путей, проходящих через вершины элементарного квадрата и идущих из в по и против часовой стрелки. Равенство (2.2.13) есть условие Колмогорова для -звенных путей, проходящих через вершины прямоугольника и ведущих из в по и против часовой стрелки. Это доказывает необходимость условий (2.2.12) и (2.2.13) для обратимости, а значит (по лемме 2.3) квазиобратимости изолированного узла в фиктивной окружающей среде. Предположим, что (2.2.12), (2.2.13) выполнены. Любой замкнутый путь из в без самопересечений либо а) представляет собой некоторую однозвенную замкнутую дугу, либо б) проходит по границе некоторой фигуры, составленной из конечного числа примыкающих друг к другу элементарных квадратов и определенных выше - звенных прямоугольников. Для случая а) циклическое условие (2.2.18) выполняется автоматически. В случае б) перемножим равенства (2.2.12) для всех элементарных квадратов и равенства (2.2.13) для всех прямоугольников, из которых состоит упомянутая фигура. Так как прямоугольники могут соприкасаться только «длинными» сторонами, то при этом интенсивности перехода для тех направленных дуг, которые не принадлежат границе фигуры, войдут множителями как в левую, так и в правую части. После сокращения на них получится циклическое условие (2.2.18) для путей, идущих по границе фигуры по и против часовой стрелки. Достаточность условий (2.2.12) и (2.2.13) доказана.