Моделирование систем массового обслуживания (стр. 6 из 7)
Суть метода:
1. Вводим в некотором единичном квадрате любую поверхность S.
2. Любым получаем 2 числа xi, yi, подчиняющиеся равномерному закону распределения случайной величины на интервале [0, 1].
3. Полагаем, что одно число определяет координату x, второе – координату y
4. Анализируем принадлежность точки (x, y) фигуре. Если принадлежит, то увеличиваем значение счетчика на 1.
5. Повторяем n раз процедуру генерации 2х случайных чисел с заданным законом распределения и проверку принадлежности точки поверхности S.
6. Определяем площадь фигуры как количество попавших точек, к количеству сгенерированных.
Фон-Нейман доказал, что погрешность
.Преимущества метода статистических испытаний в его универсальности, обуславливающей возможность всестороннего статистического исследования объекта, однако, для реализации этой возможности нужны довольно полные статистические сведения о параметрах элементов.
К недостаткам относится большой объем требуемых вычислений, равный количеству обращений к модели. Поэтому вопрос выбора величины n имеет важнейшее значение. Уменьшая n – повышаем экономичность расчетов, но одновременно ухудшаем их точность.
Способы получения последовательностей случайных чисел
На практике используются 3 основных способа генерации случайных чисел:
1. аппаратный (физический)
2. табличный (файловый)
3. алгоритмический (программный)
Аппаратный способ.
Случайные числа вырабатываются специальной электронной приставкой (генератором случайных чисел). Реализация этого способа не требует дополнительных вычислительных операций по выбору случайных чисел. Необходимо только оперативное обращение к ВУ.
В качестве физического эффекта, лежащего в основе генератора, чаще всего используют шуму в электронных приборах.
Простейшие алгоритмы генерации последовательности псевдослучайных чисел
Одним из первых способов получения является выделение значения дробной части у многочлена первой степени:
Если n пробегает значения натурального ряда числе, то поведение yn выглядит весьма хаотично.
К. Якоби доказал, что при рациональном коэффициенте a множество y конечно, а при иррациональном – бесконечно и всюду плотно в интервале [0, 1].
Критерий равномерности распределения любой функции: свойство эргамичности – среднее по реализациям псевдослучайное число равно среднему по всему их множеству с вероятностью 1.
1. 1946 год, Фон Нейман.
Каждое последующее случайное число образуется возведением в квадрат предыдущего и отбрасывание цифр с обоих концов. Способ оказался ненадежным.
2. Лемер.
. Для подборов коэффициентов k, c, m были потрачены десятки лет. Подбор почти иррациональных чисел ничего не дает.3. Разумнее ввести вычисления с целыми числами.
при c = 0 и m = 2n наибольший период достигается при k=3+8i или k=5+8i и при нечетном начальном числе.
Для имитации равномерного распределения на [a, b] используется обратное преобразование функции плотности вероятности.
где R – равномерно распределенное псевдослучайное число на [0, 1].
В основе построения программы генерации случайной числа с законом распределения, отличным от равномерного, лежит метод преобразования последовательности случайных чисел с равномерным законом распределения в последовательность случайных чисел с заданным законом распределения.
Метод основан на том, что случайная величина x принимает значения, равные корню уравнения
, имеет плотность распределения f(x). R – случайная величина, равномерно распределенная на [0, 1].
Значение случайной величины, распределенной по показательному закону может быть вычислено из данного уравнения следующим образом:
Распределение Пуассона относится к числу дискретных (переменная может принимать лишь целочисленные значения, включая 0, с математическим ожиданием и дисперсией l > 0). Для генерации Пуассоновских переменных можно использовать метод точек, в основе которого лежит генерируемое случайное значение Ri , равномерно распределенное на [0, 1], до тех пор, пока не станет справедливым
При получении случайной величины, функция распределения которой не позволяет найти решение уравнения
в явной форме, можно произвести кусочно-линейную аппроксимацию, а затем вычислить приближенное значение корня. Кроме того, при получении случайной величины часто используют те или иные свойства распределений.
Воспользуемся этим методом, чтобы сгенерировать случайную величину с законом распределения Эрланга. Распределение Эрланга характеризуется параметрами l и k.
При вычислении случайно величины воспользуемся тем, что поток Эрланга может быть получен путем прорешивания потока Пуассона k раз. Поэтому, достаточно получить k значений случайной величины распределенной по показательному закону и усреднить их.
Нормальное распределение случайной величины может быть получено как сумма большого числа случайных величин, распределенных по одному и тому же закону распределения с одними и теми же параметрами.
Случайная величина X имеющая нормальное распределение с математическим ожиданием MX и среднеквадратичным отклонением sX может быть получена по следующей формуле:
Для сокращения вычислений на практике принимаю N=12, что дает вполне относительно хорошее приближение к нормальному распределению.
Немарковские случайные процессы, сводящиеся к марковским
Реальные процессы часто обладают последствием и поэтому не являются марковскими. Иногда при исследовании таких процессов удается воспользоваться методами, разработанными для марковских процессов. Наиболее распространены два способа:
1. Метод разложения случайного процесса на фазы (метод псевдосостояний)
2. Метод вложенных цепей Маркова
Метод псевдосостояний
Суть метода состоит в том, что состояния системы, потоки переходов из которых являются немарковскими, заменяются эквивалентной группой фиктивных состояний, потоки переходов из которых являются марковскими.
Условие статистической эквивалентности реального состояния и соответствующих ему фиктивных состояний в каждом конкретном случае выбирается по-разному. В качестве одного из критериев эквивалентности можно принять следующее условие:
, где li экв(t) – эквивалентная интенсивность перехода в i-той группе переходов, заменяемой реальный переход обладающей интенсивностью li(t).
За счет расширения числа состояний системы, некоторые процессы удается точно свести к марковским. Созданная таким образом новая система по своим характеристикам статистически эквивалентна или близка реальной системе, но она должна быть обязательно подвергнута обычному исследованию на адекватность, с помощью хорошо проработанного математического аппарата с использованием уравнений Колмогорова.
К числу процессов, которые введением фиктивных состояний можно точно свести к марковским, относятся процессы, происходящие в системе под воздействием потока Эрланга.
В случае потока Эрланга k-го порядка интервал времени между сообщениями представляет собой сумму k независимых случайных интервалов распределенных по показательному закону. Поэтому сведение потока Эрланга k-го порядка к Пуассоновскому осуществляется введением k псевдосостояний. Интенсивности перехода между псевдосостояниями равны соответствующему параметру потока Эрланга.
Полученная таким образом эквивалентный случайный процесс является марковским, т.к. интервалы времени нахождения его в различных состояниях подчинены показательному закону распределения.
Пример.
Некоторое устройство S выходит из строя с интенсивностью l, причем поток отказов Пуассоновский. После отказа устройство восстанавливается. Время восстановления распределено по закону Эрланга 3-го порядка с функцией плотности
. Найти предельные вероятности возможных состояний системы.Система S может принимать два состояния:
S0 – устройство исправно
S1 -S0 – поток Эрланга