Расчёт оптимальной системы связи (стр. 2 из 4)

Рисунок 2.3 Спектры сигналов ЧМ при различныхиндексах модуляции М

3. Расчет вероятности ошибки на выходе приемника

Необходимо рассчитать вероятность ошибки для аналогового и дискретного сигналов. Так как приёмник не является оптимальным, то вероятность ошибки на его выходе будет зависть от типа модуляции (ЧМ), от вида приёма (некогерентный), от мощности полезного сигнала на входе приёмника и от полосы пропускания полосовых фильтров.

Расчёт вероятности ошибки для аналогового сигнала.

Вычислим мощность шума на выходе приемника по формуле:

, где

- полоса пропускания приемника для ЧМ; N₀ – спектральная плотность мощности помехи; так как П = 3 (речь), то F_c =3,4 кГц

Отношение мощности сигнала к мощности шума (h²):

; ,где

Pc – мощность приходящего сигнала;

Для расчёта вероятности ошибки на выходе приёмника воспользуемся формулой:

Как видно, отношение мощности сигнала к мощности шума (h² = 164,706) – велико, то Р_ош → 0.

Расчёт вероятности ошибки для дискретного сигнала.

Вычислим мощность шума на выходе приемника по формуле:

, где

- полоса пропускания приемника для ДЧМ; где T – длительность сигнала;

Отношение мощности сигнала к мощности шума (h²):

; ,

где Pc – мощность приходящего сигнала;

Для расчёта вероятности ошибки на выходе приёмника воспользуемся формулой:

Построим зависимость вероятности ошибки от отношения мощности сигнала к мощности шума (h) будем менять от 0 до 5 с шагом 0,5.Результаты расчетов сведены в таблицу 3.1 График зависимости Р_ош от h², изображен на рисунке 3.1

Таблица 3.1

Рисунок 3.1

4. Сравнение выбранной схемы приемника с оптимальным приемником

Решая вопрос о помехоустойчивости системы связи следует вначале остановиться на выборе критерия помехоустойчивости. Таких приборов может быть предложено достаточно много: минимума вероятности ошибочного приёма, минимума среднего риска или среднеквадратичного отклонения от передаваемого сообщения и т.д. Эта задача усложняется, если рассматривать возможность безошибочного распознавания множества символов. Поэтому рассмотрим наиболее простой (но и наиболее общий для любого числа символов) случай распознавания бинарных сигналов, а для оценки качества – предложенный В.А. Котельниковым, критерий идеального наблюдателя, который обеспечивает минимум вероятности ошибочного приёма.

Если имеются два сигнала S₀ и S₁ поражённых аддитивной помехой n(t), то напряжение на выход приёмника Z(t) = S(t) + n(t), где S(t) может принимать два значения.

Графически области условной вероятности событий S₀ и S₁ будут иметь вид:

Рисунок 4.1. – Условная вероятность.

где W(S₀/Z) и W(S₁/Z)- условные плотности вероятности появления сигналов "0" и "1" соответственно, при наличии смеси: сигнал + шум.

S₀ и S₁ – соответственно ожидаемые (или точно известные) значения сигнала "1" и "0".

Вероятность события P(S) = ∫ W(S/Z)dt. Тогда для нормального закона распределения плотности условных вероятностей событий будем иметь:

где G – среднеквадратичное значение уровня шума. Найдём совместное решение этих уравнений в виде отношений правдоподобия:

взяв натуральные логарифмы от числителя и знаменателя:

Это выражение – наиболее классический алгоритм решения задачи оптимального приёма, соответствующая ему функциональная схема носит название идеального приёмника Котельникова.

Рисунок 4.2. – Идеальный приёмник Котельникова.

На рисунке 4.2. обозначены:

НЕ – инвертор (вычитающее устройство)

КВ – квадратор

∫ - интегратор

РУ – решающее устройство

т.о. оптимальный приёмник для разделения бинарных сигналов состоит из двух одинаковых ветвей, на которые заводятся ожидаемые (или известные) значения уровней сигналов "0" и "1" и решающее устройство перебрасывается в сторону большего значения среднего уровня мощности в той или иной ветви.

Но решение задачи возможно и другими способами:

Пологая

(минимум ошибки) и раскрывая скобки в подынтегральных выражениях (смотри формулу выше) получим:

где Е₁ = S₁² – энергия сигнала "1"

Е₀ = S₀² – энергия сигнала "0"

В этом выражении решение оптимального приёма осуществляется за счёт перемножения смеси входного сигнала на известную функцию S₀(t) и S₁(t) с последующим накоплением (интегрированием). Такой способ приёма (по виду математической обработки) носит название корреляционного. Соответствующая сема на рисунке 4.3.

Рисунок 4.3.

Выражение представленное выше может быть ещё более упрощено, если ввести понятие разности сигналов S_∆(t) = S₁ – S₀ тогда

где

- пороговый уровень различения.

Тогда функциональная схема одноканального оптимального приёмника бинарных сигналов будет иметь вид Рисунок 4.4.

Рисунок 4.4.

Решение задачи в пользу сигнала 1 будет в том случае, если сигнал на выходе интегратора > л.

Обратим внимание, что функция корреляции

смеси сигнала с полезной информацией может быть получена, когда в точке приёма точно известен принимаемый сигнал. Если последнее условие трудно осуществить, то можно осуществить необходимую значимость путём приёма исходного сигнала Z(t) на согласованный фильтр, переходная характеристика которого .

Таким образом, схема рисунок 4.4. для не полностью известного сигнала в точке приёма будет рисунок 4.5.

Рисунок 4.5.

Следует отметить, что задачей согласованного фильтра является не восстановление формы сигнала искаженной шумом, а получение одного отсчета, по которому можно было бы судить о присутствии или отсутствии на входе фильтра сигнала известной формы.

Сигналы "0" и "1" равны по амплитуде, но отличаются по частоте, при этом спектральные линии полезной информации различаются на p/2 (выполняется условие ортогональности) - S₁ и S_O комплексно сопряжены.

S₁(t)=Acosw₁t; S₀(t)= Acosw₀t; 0 < t < Т

Так как сигналы S₁ и S₂ взаимоортогональны, то их функция взаимокорреляции B_S1S0(0) = 0E₁=Е₀ E_Э=2Е₁

Значит:

Окончательная формула:

Для оптимального приемника отношение мощностей сигнал/шум:

Для неоптимального приемника отношение мощностей сигнал/шум:

,

то есть оптимальный приемник дает четырехкратный выигрыш по мощности в сравнении с заданным неоптимальным.

5. Передача аналоговых сигналов методом ИКМ

Для передачи непрерывных сообщений очень выгодно воспользоваться дискретным каналом. Для этого необходимо преобразовать непрерывное сообщение в дискретный (цифровой) сигнал, для чего наиболее часто используется импульсно-кодовая модуляция (ИКМ).