Разработка методов мажоритарного декодирования с улучшенными вероятностно-временными характеристиками (стр. 4 из 9)
(10)Здесь знак минус заменен знаком плюс, так как сложение и вычитание по модулю два – операции эквивалентные.
Из полученного равенства видно, что кодовая комбинация циклического кода может быть получена двумя эквивалентными методами, причем второй метод приводит к построению систематического циклического кода, в котором информационные и проверочные элементы разделены. А так как информационные элементы непосредственно принимаются из канала связи, то эффект размножения ошибок в информационной части кодовой комбинации будет отсутствовать.
3.2 Коды с постоянной четностью единиц
Наименьшей избыточностью обладают циклические (k+ 1, k) – коды, имеющие один проверочный элемент и получившие название кодов с постоянной четностью единиц. Построение этих кодов осуществляется при помощи образующего полинома
методами, изложенными в п. 4.1. При этом разрешенные кодовые слова циклического (k+ 1, k) – кода во всех случаях содержат четное число единиц. Докажем это свойство, используя метод построения циклических кодов, основанный на умножении комбинаций G(х) на образующий полином
Р (х) = х + 1.
Так как образующий полином Р (х) является двучленом, то произведение G(х) Р (х) независимо от числа членов первого сомножителя
G(х) всегда будет содержать четное число членов.
Доказанное свойство определяет метод построения кодов с постоянной четностью единиц, наиболее пригодный для технической реализации и приводящий к получению кодовых комбинаций систематического кода.
Коды с постоянной четностью единиц позволяют обнаружить любые ошибки нечетной кратности, т.е. для этих; кодов
= 1,3,5,…, l, где l = kдля нечетных значений kи l = k + 1 для четных значений k.3.3 Помехоустойчивость циклических кодов
Циклические коды можно использовать в следующих режимах: для исправления ошибок; для обнаружения ошибок; для исправления и обнаружения ошибок.
Достоверность передаваемой информации. Наиболее предпочтительным является использование циклических кодов в режиме обнаружения ошибок, так как при этом достигается наибольшая достоверность передаваемой информации, определяемая вероятностью необнаруженных ошибок:
(11)где
– вероятность ошибок кратности, большей чем ; – кратность гарантийно обнаруживаемых циклическим кодом ошибок; 
- коэффициент, учитывающий долю необнаруживаемых ошибок более высокой кратности, чем .C учетом выражения (11) получим
(12)При пР0
1, ограничиваясь первым членом суммы, получим приближенное выражение, пригодное для инженерных расчетов: 
(13)При передаче информации в канале связи с группирующимися ошибками, определяя
, и подставляя в (11), получим приближенное выражение 
(14)Для точных расчетов вероятность
должна определяться из выражения (3).Использование циклических кодов для исправления ошибок приводит к снижению достоверности передаваемой информации, которая может быть определена по формулам (12), (13) и (14), если исключить коэффициент
и вместо параметра 
подставить параметр t, который определяет кратность гарантийно исправляемых циклическим кодом ошибок и связан с соотношением 
. (15)Режим одновременного исправления и обнаружения ошибок по достигаемой достоверности занимает промежуточное положение между рассмотренными режимами. Вероятность необнаружения ошибок в этом случае может быть вычислена по формулам (11) – (13), если параметр
уменьшить на величину t.В режиме исправления ошибок достоверность снижается по сравнению с режимом обнаружения ошибок. Это позволяет сделать вывод, что наиболее рациональными следует считать такие системы передачи дискретной информации, в которых циклические коды используются для обнаружения ошибок.
В некоторых случаях, когда используются каналы связи достаточно низкого качества, находит применение режим одновременного исправления и обнаружения ошибок. Это позволяет уменьшить потери информации и увеличить относительную скорость передачи.
Потери информации. Потери информации имеют место в том случае, когда возникает ошибка, необнаруживаемая циклическим кодом, поэтому для режима обнаружения ошибок можно записать, что
(16)где Рош – вероятность появления любой ошибки в кодовой комбинации. Так как в реальных системах Рн.о.<Рош, то можно положить, что
(17)В режиме одновременного исправления и обнаружения ошибок исправляются ошибки до t– кратных включительно. Поэтому потери будут обусловлены абсолютным большинством ошибок, кратность которых превышает t, т.е.
, (18)где
– вероятность появления i-кратных ошибок.4. Мажоритарное декодирование циклических кодов
Декодирование циклических мажоритарных кодов с повторением. При декодировании циклических кодов, допускающих мажоритарную обработку, процесс декодирования может быть осуществлен только после приема всей комбинации циклического (п, k) – кода. Для кодов с повторением мажоритарная обработка заканчивается после приема всех повторений комбинации. Использование для помехоустойчивого кодирования сообщений одновременно циклических мажоритарных кодов и метода многократных повторений позволяет обеспечить требуемые характеристики по достоверности и надежности передачи информации при использовании каналов связи низкого качества.
На рис. 2 изображена функциональная схема декодирующего устройства для циклических мажоритарных кодов с повторением. Устройство содержит регистр сдвига 1, сумматоры по модулю два 2, распределитель 3, счетчики мажоритарных проверок 4 – 1, 4–2,…, 4 – k, блок запоминания 5, блок, сравнения 6 и дешифратор 7.
Регистр сдвига установлен для записи п элементов одной кодовой комбинации циклического (п, k) – кода и перезаписи комбинации по цепи обратной связи при формировании результатов мажоритарных проверок.
Сумматоры по модулю два 2 предназначены для вычисления мажоритарных проверок путем суммирования импульсов с различных ячеек регистра сдвига 1 с целью получения серии импульсов, из которых затем по большинству определяется значение информационного элемента. Входы сумматоров подключены к ячейкам регистра сдвига в соответствии с системой мажоритарных проверок для конкретного циклического кода.
Рис. 2
Распределитель 3 служит для направления результатов мажоритарных проверок с выходов сумматоров в счетчик того информационного элемента, которому соответствуют эти проверки.
Счетчики мажоритарных проверок 4–1, 4–2,…. 4-k используются для подсчета результатов мажоритарных проверок. Они выполнены по схеме с несколькими порогами срабатывания. Каждый порог определяется числом принятых кодовых комбинаций, по результатам мажоритарных проверок которых вычисляются информационные элементы. В общем случае число счетчиков равняется числу информационных элементов k в исходной кодовой комбинации. Если l– число мажоритарных проверок для одного информационного элемента за одно повторение, то минимальный порог определится величиной 0,5l(l – четное) или 0,5 (l+ 1). где l – нечетное. За m повторений порог определится величиной 0,5 lm или 0,5 (1m + 1). За все N повторений порог определится величиной 0,5 lm или 0,5 (lm + 1). Так, для циклического (7,3) – кода с трехкратным повторением l = 4, минимальный порог за одно повторение равен двум, порог за два повторения равен четырем и порог за все повторения равен 6.
Рис. 3
При этом счетчик мажоритарных проверок для одного информационного элемента (рис. 3) будет состоять из трех двоичных разрядов и значение информационного элемента для минимального порога определится состоянием второго разряда счетчика после обработки первого повторения, для второго порога – состоянием третьего разряда счетчика после обработки двух повторений и для третьего порога за все повторения – состоянием второго и третьего разрядов счетчика после обработки трех повторений.