Методы приближенного расчета безусловного отношения правдоподобия (стр. 2 из 2)

,

где

- априорное распределение неизвестного параметра. Усреднением условных функций правдоподобия или условного отношения правдоподобия по апостериорному распределению неизвестного параметра получаем отношение правдоподобия, которое не зависит от неизвестного параметра , но зависит от оценки :

.

Если оценка

рассчитана на основании отсчетов входной выборки, предшествующих отсчету , наблюдаемому в данный момент, то оценка и отсчет взаимно независимы, следовательно отношение правдоподобия факторизуется:

,где - отношение правдоподобия - го элемента выборки.

Таким образом, расчет безусловного отношения правдоподобия может выполняться рекуррентно с помощью схемы рис 4.3.

По мере получения новых отсчётов точность оценки

растёт (дисперсия апостериорного распределения уменьшается) и рекуррентный алгоритм сходится к алгоритму, соответствующему точно известным параметрам, т.е. происходит самонастройка алгоритма на истинное значение неизвестного параметра.

4.3. О роли априорного распределения при синтезе алгоритмов совместного обнаружения – оценивания (адаптивный байесовский подход)

До сих пор мы полагали априорное распределение неизвестных параметров

, точно заданным. (Подход к задачам статистических решений, при котором априорное распределение считается известным, называется байесовским).

На практике далеко не всегда есть достаточные теоретические или экспериментальные данные для обоснованного выбора того или иного закона распределения

. В связи с этим возникает вопрос о практической ценности алгоритмов обнаружения - оценивания, полученных в рамках байесовского подхода, т.е. о возможности применения таких алгоритмов в случаях, когда априорное распределение отличается от расчетного или неизвестно.

Положительный ответ на этот вопрос следует из фундаментального свойства сходимости байесовских алгоритмов к алгоритмам, соответствующим точно известным параметрам сигнала, причем это свойство сохраняется при любом априорном распределении. Отмеченная инвариантность позволяет распространить методы байесовской теории на представляющий основной интерес случай, когда априорное распределение

неизвестно.

Соответствующий подход, получивший название адаптивного байесовского, рассматривает априорное распределение как некоторую весовую функцию, которая лишь задает начальные условия для фильтрации оценок неизвестных параметров и поэтому влияет только на скорость их сходимости. Другая трактовка априорного распределения, возможная в рамках адаптивного байесовского подхода, состоит в том, что оно рассматривается как весовая функция, по которой усредняется условный риск некоторого решающего правила относительно байесовского. Очевидно, что обе трактовки открывают достаточную свободу для выбора функции

например, из соображений удобства расчета безусловного отношения правдоподобия.

Основываясь на изложенном, можно утверждать, что рассмотренные нами алгоритмы совместного обнаружения – оценивания, будучи синтезированными при конкретном виде априорного распределения

, могут затем применяться безотносительно к его истинному виду, поскольку при достаточно большом времени наблюдения их выходной эффект перестает зависеть от априорной информации, полностью определяется результатами наблюдения и стремится к выходному эффекту оптимального алгоритма. Оба рассмотренных способа вычисления безусловного отношения правдоподобия (с помощью многоканальной схемы или рекурентный) в этом смысле полностью эквивалентны. Выбор того или иного варианта построения схемы определяется из технических, экономических и других соображений.

В заключении отметим, что схемы совместного обнаружения – оценивания могут применяться и в тех случаях, когда неизвестный параметр является мешающим, т.е. не представляет самостоятельного интереса. Оценка параметра на выход схемы при этом не выдается, сам же алгоритм обнаружения остается прежним.