Расчет систем управления при случайных воздействиях (стр. 10 из 11)
Графический смысл предельного перехода от конечного интервала [0, T] к бесконечному при T®¥, Dw®0 выражается в том, что ступенчатая функция sx(wk) будет неограниченно приближаться к непрерывной функции sx(w), которая будет изображать плотность распределения дисперсии случайных амплитуд по частотам непрерывного спектра.
Непрерывная функция sx(w) называется спектральной плотностью стационарного случайного процесса. sx(w) характеризует частотный состав стационарного случайного процесса X(t) и полностью определяется его корреляционной функцией Rx(τ) (4.45).
Рис. 4.8. Спектральная плотность стационарного случайного процесса
Формула (4.44) представляет собой разложение дисперсии Dx на сумму элементарных слагаемых sx(w)dw, каждая из которых представляет собой дисперсию, приходящуюся на элементарный бесконечно малый интервал частот dw, прилежащей к точке w при (–¥<w<¥).
Если рассматривать спектр дисперсии в физически возможном диапазоне частот wÎ[0, ¥), то спектральная плотность Sx(w) в этом диапазоне удваивается по амплитуде с тем, чтобы площадь под кривой спектральной плотности не изменилась.
В отличие от спектральной плотности zx(w), рассматриваемой на всём диапазоне частот, будем рассматривать спектральную плотность только для положительных частот и обозначим ее Sx(w).
С учётом этого дисперсия процесса X(t) будет вычисляться по формуле:
, (4.45)где
, (4.46) 
. (4.47)На практике иногда пользуются так называемой нормированной спектральной плотностью:
, (4.48) 
. (4.49)Так как Rx(τ) и sx(τ) представляют собой чётные вещественные функции, то иногда формулы (4.47) и (4.48) для Rx(τ) и sx(w) представляют в вещественной форме:
, (4.50) 
. (4.51)Выражения (4.51), (4.52) получены на основе равенств
после подстановки и отбрасывания мнимых частей (слагаемых). Графически связь sx(w) с R(t) можно представить следующим образом (рис. 4.9):
Рис. 4.9. Связь процесса со спектральной плотностью и корреляционной функцией
Чем шире спектр sx(w), тем большие частоты представлены в X(t), т.е. тоньше структура X(t), и быстрее происходят изменения X(t) во времени.
Свойства спектральной плотности:
a) Спектральная плотность действительного стационарного случайного процесса является чётной действительной функцией аргумента w, т.е.
sx(w)=–sx(–w), Imsx(w)=0 – мнимая часть.
б) Дисперсия действительного стационарного случайного процесса равна интегралу от спектральной плотности этого процесса в бесконечных пределах:
.в) Спектральная плотность стационарного случайного процесса – функция неотрицательная, т.е.
.Зная спектральный состав случайного процесса, можно рационально конструировать системы различного назначения. Например, сенсорное устройство.
Рис. 4.10. Спектральная плотность сенсорного устройства
[w1, w2] – чувствительность сенсорного устройства.
4.3. Корреляционные функции и спектральные плотности типовых стационарных процессов
1. Белый шум.
Как отмечено ранее, белый шум – это центрированный случайный процесс X(t) с некоррелированными сечениями. Следовательно, по определению, корреляционная функция белого шума:
. (4.52)Множитель G(t)=G(t1)=G(t2) называется интенсивностью белого шума, d – дельта функция. Если G(t)=G – белый шум стационарный.
Дисперсия белого шума:
. (4.53)Используя формулу Винера-Ханчина, вычислим спектральную плотность:
(4.54)Графически это показано на рис. 4.11.
Белый шум – идеализированная случайная функция, реализовать которую на практике невозможно. Некоторые процессы в пределах заданных (достаточно широких) диапазонов можно приближённо считать белым шумом. Например, тепловые шумы сопротивления:
, (4.55)где R – сопротивление, к= 1,37*10-23 – постоянная Больцмана, Т0 – абсолютная температура.
Рис. 4.11. Корреляционная функция и спектральная плотность белого шума
2. Формирующий фильтр.
Из белого шума
можно получить случайный процесс с заданными характеристиками, пропуская через апериодическое звено (рис. 4.12). 
Рис. 4.12. Формирующий фильтр
Уравнение формирующего фильтра имеет вид:
.Если интенсивность белого шума задать G=1, а параметры апериодического звена:
, (4.56)то X(t) имеет следующие характеристики (рис. 4.13).
Экспоненциальная корреляционная функция будет иметь вид:
. (4.57)Воспользуемся преобразованием Винера-Ханчина:
, (4.58)где учтено, что
(4.59) 
Рис. 4.13. Корреляционная функция и спектральная плотность
формирующего фильтра
При уменьшении параметра a (при возрастании постоянной времени Т) корреляционная функция будет убывать медленнее, что соответствует более плавным реализациям случайного процесса X(t). Кривая sx(w) при этом вытягивается вверх, сжимаясь с боков, т.е. повышается удельный вес низких частот.
При a®¥ (T®0) X(t) вырождается в белый шум.
3. Нерегулярная качка.
Некоторые объекты, например корабли, самолёты, находясь под действием нерегулярных возмущений (волнение моря, турбулентность атмосферы), движутся по случайному закону. Получающееся при этом случайное движение объекта называют нерегулярной качкой, в отличие от регулярной качки, представляющей собой периодическое движение. График такого процесса имеет вид, представленный на рис. 4.14. Несмотря на случайный характер, это движение близко к периодическому. Корреляционная функция нерегулярной качки имеет вид:
. (4.60)Выражение (4.60) является экспоненциально-косинусной корреляционной функцией, где w0 – резонансная частота, a – параметр затухания (
T – постоянная времени), Dx – дисперсия. 
Рис. 4.14. Нерегулярная качка
Значения Dx, a, w0 обычно находят экспериментально.
По формуле Винера-Ханчина определим спектральную плотность:
(4.61)Таким образом, описывается изменение одного из параметров нерегулярной качки, например, угла крена (или угловой скорости).
Графики корреляционной функции и спектральной плотности нерегулярной качки имеют вид:
Рис. 4.15. Корреляционная функция и спектральная плотность
нерегулярной качки
Для корреляционных функций типовых случайных процессов определены их изображения (преобразования Фурье) и составлены таблицы, которые приведены в справочниках.
Рассмотрим без вывода некоторые из них.
4. Гармонический сигнал.
. (4.62)