1.3. Вероятностные характеристики дискретных случайных величин
Для расчёта дискретной случайной величины необходимо иметь:
1) все возможные значения, которые она может принимать,
2) вероятность появления каждого из них.
Одной из простых характеристик определяющую случайную величину является среднее значение или математическое ожидание случайной величины.
. (1.6)Основные свойства математического ожидания случайной величины следующие:
1. Для любых случайных величин среднее значение их суммы равно сумме средних значений этих величин:
; (1.7)2. Среднее значение произведения случайных величин, независимых друг от друга, равно произведению средних значений этих величин:
. (1.8)Последняя формула не распространяется на общий случай любых случайных величин. В виде обобщения среднего значения введено понятие момента порядка m случайной величины x.
(1.9)Момент первого порядка есть среднее значение (математическое ожидание) случайной величины. Момент второго порядка – это средний квадрат случайной величины.
. (1.10)Часто используют так называемое среднеквадратичное значение случайной величины, представляющее собой корень квадратный из среднего квадрата случайной величины:
. (1.11)Иногда рассматриваются центрированное значение случайной величины
, где – среднее значение. Тогда можно ввести понятие центрального момента m-го порядка. . (1.12)Из формулы следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю.
Обратимся теперь к характеристикам рассеяния дискретной случайной величины.
Если x – случайная величина, а
– среднее значение этой величины, то величина есть отклонение случайной величины от ее среднего значения. Это отклонение является случайной величиной, как и сама величина x.Средним отклонением D называется среднее значение (математическое ожидание) абсолютной величины отклонения, т.е.
. (1.13)Дисперсией называется средний квадрат отклонения случайной величины от её среднего значения. Она совпадает с центральным моментом второго порядка
. (1.14)Дисперсия может быть только положительным числом:
.Корень квадратный из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением случайной величины:
. (1.15)Укажем простейшие свойства среднеквадратичных отклонений.
1. При сложении независимых случайных величин
(1.16)дисперсии складываются:
. (1.17)Поэтому среднеквадратичное отклонение суммы независимых случайных величин
. (1.18)Эта формула часто применяется в вычислительной технике и автоматики для вычисления среднего квадрата ошибки.
2. Пусть имеется n случайных величин
с одинаковыми средними значениями
и с одинаковыми законами распределения. Тогда их среднеарифметическое (1.19)тоже будет случайной величиной с тем же самым средним значением
, но среднеквадратичное отклонение его будет в раз меньше, чем для каждой из составляющих (в случае независимых случайных величин): (1.20)Например, если производится n измерений одной и той же физической величины, то их среднее арифметическое, хотя является случайной величиной, но всегда надежнее (имеет меньшее среднеквадратичное отклонение), чем каждое измерение в отдельности. Здесь случайные ошибки измерения в известной мере компенсируются. Но надо помнить, что систематические ошибки приборов при этом остаются в полной мере в составе среднего арифметического и никакой массовостью измерений скомпенсированы быть не могут.
3. Для n случайных величин, независимых, имеющих одно и то же среднеквадратичное значения
, среднее арифметическое будет при достаточно большом как угодно мало отличатся от среднего значения (с вероятностью, как угодно близкой к единице). Замечание в скобках означает, что это практически достоверно, но не абсолютно, потому что среднее арифметическое есть все же случайная величина. Таким образом, при большом n и указанных условиях при . (1.21)1.4. Законы распределения случайных величин
Закон распределения случайной величины – некоторая функция, устанавливающая взаимнооднозначное соответствие между возможными значениями случайных величин и вероятностями этих значений.
Рис. 1.1. Формы закона распределения случайных величин
Таблица 1.3
Табличная форма закона распределения