Расчет систем управления при случайных воздействиях (стр. 3 из 11)
Рис. 1.2. Графическая форма – многоугольник распределения
Данные формы применимы только для дискретных случайных величин.
Функция распределения – вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше некоторого фиксированного x.
, (1.22)где F(x) – неубывающая функция аргумента x.
Рис. 1.3. Попадание случайной величина на числовую ось
Рис. 1.4. Функция распределения для дискретных случайных
величин (непрерывная слева)
Рис. 1.5. Функция распределения для непрерывных
случайных величин
Плотность вероятности для одномерной случайной величины – предел отношения вероятности попадания случайной величины X на отрезок ∆x к длине этого отрезка, когда ∆x стремится к нулю.
. (1.23)Плотность вероятности имеет следующие свойства:
1.
;2.
.1.5. Типовые законы распределения непрерывных случайных величин
1.5.1.Показательное распределение
Плотность вероятности для показательного закона распределения имеет вид:
, (1.24)где x>0 и λ>0.
Функция распределения:
. (1.25) 
Рис. 1.6. Плотность вероятности и функция распределения
показательного закона распределения
Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение для показательного распределения имеют вид:
, (1.26) 
, (1.27) 
. (1.28)Пример: время безотказной работы системы при постоянной интенсивности отказов.
1.5.2.Равномерное распределение
Плотность вероятности для равномерного закона распределения имеет вид:
. (1.29)Функция распределения:
(1.30) 
Рис. 1.7. Плотность вероятности и функция распределения
равномерного закона распределения
Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение для равномерного распределения имеют вид:
; (1.31) 
; (1.32) 
. (1.33)Например: ошибка измерения линейкой длины бруска или игральная рулетка.
1.5.3.Нормальное распределение (Гаусса)
Плотность вероятности для нормального закона распределения имеет вид:
, (1.34)где f – функциональная зависимость.
Рис. 1.8. График плотности вероятности нормального распределения
Правило 3σ:
. (1.35)Если рассматривается Е – вероятное отклонение, то
. (1.36)1.6. Характеристические функции
Рассмотрим характеристические функции одномерных случайных величин. Характеристической функцией g(t) или g(jλ) действительной случайной величины X с плотностью распределения вероятностей w(x) называется математическое ожидание функции, e jλx, где λ – параметр (аргумент), а j – мнимая единица (j2=–1). Если аргумент λ имеет размерность времени, то аргумент x имеет размерность частоты.
. (1.37)Аналог – амплитудно-фазовая характеристика для W(jω) – преобразование Фурье от весовой функции g(t). Комплексная форма интеграла Фурье имеет следующий вид:
. (1.38)Сравнивая (1.37) с преобразованием Фурье видим, что характеристическая функция есть преобразование по Фурье функции распределения вероятностей. Следовательно, функция w(x) – есть обратное преобразование по Фурье характеристической функции g(jλ):
. (1.39)Характеристическая функция используется для решения ряда теоретических и практических задач теории вероятностей и статистической динамики.
Свойства характеристической функции:
1. При λ=0 по определению следует, что g(0)=1, то есть
; (1.40)2. Модуль характеристической функции не превышает единицы:
; (1.41)3. Характеристическая функция gy(jλ) суммы двух независимых случайных величин x1 и x2 равна произведению характеристических функций g1(jλ) и g2(jλ) этих случайных величин:
; (1.42)4. Для случайной величины y=ax+b, где a и b – неслучайные числа, характеристическая функция имеет вид:
, (1.43)где g(jλ) – характеристическая функция случайной величины x.
Доказательство данного выражения можно привести, исходя из определения характеристической функции:
; (1.44)5. Если существует начальный момент m-го порядка M[xm] случайной g(jλ) величины x, то при всех m£n значение производной порядка m от характеристической функции этой случайной величины при λ=0 равно начальному моменту m-го порядка случайной величины х, умноженному на jk, т.е.
. (1.45)Формулу (1.45) используют для вычисления моментов случайных величин:
, (1.46) 
, (1.47) 
. (1.48)Подставив в формулу (1.37) выражение для w(x), можно определить g(jλ) для разных законов распределения.
Например, для нормального закона распределения:
, (1.49)где
– интеграл Эйлера-Пуассона.Таким образом, для нормального распределения:
. (1.50)1.7. Векторные случайные величины
Примеры векторных (многомерных) величин:
1. Отклонение точки падения снаряда от цели:
.2. Случайное положение центра тяжести самолёта в пространстве:
.3. Случайные сигналы X и Y (векторные величины) на входе и выходе САУ (системы автоматического управления) показаны на рис. 1.9.
Рис. 1.9. Случайные сигналы на входе и выходе САУ
, 
.Рассмотрим закон распределения на примере двумерного случайного вектора:
Таблица 1.4
Матрица вероятностей для дискретных случайных величин
 |
| y1 | y1 | … | ym | |
| x1 | P11 | P12 | … | P1m |
| x2 | P21 | P22 | … | P2m |
| … | … | … | … | … |
| xn | Pn1 | Pn2 | … | Pnm |
. (1.51)