Расчет систем управления при случайных воздействиях (стр. 4 из 11)
Функция распределения имеет вид:
. (1.52)Графически – это вероятность попадания вектора [XY] в бесконечный квадрант, т.е. часть плоскости, ограниченную осями (рис. 1.10).
Плотность вероятности вычисляется по формуле:
. (1.53)Вероятность попадания в область Ω рассчитывается по формуле:
. (1.54) 
Рис. 1.10. Графическое изображение функции распределения
векторных случайных величин
Функция распределения имеет следующий вид:
. (1.55)Плотность вероятности рассчитывается по формуле:
. (1.56)Для n-мерного вектора расчеты производятся аналогично.
Для векторных случайных величин вводят следующие понятия:
1. Смешанный начальный момент m-го порядка (m=q+s). Для двумерного вектора он имеет вид:
. (1.57)2. Смешанный центральный момент:
. (1.58)3. Если q=s=1, то получим корреляционный момент:
(1.59)для независимых x1 и x2r12=0.
4. Иногда применяют коэффициент корреляции – относительное значение корреляционного момента:
. (1.60)Для случайного вектора
обычно задают вектор математических ожиданий 
и матрицу корреляционных моментов: 
.Составляющие корреляционной матрицы показывают степень связи между отдельными случайными величинами. По диагонали корреляционной матрицы находятся дисперсии.
Внимание! Независимые величины всегда некоррелированы, а зависимые могут быть как коррелированными, так и не коррелированными.
2.1. Понятие случайного процесса
В математике существует понятие случайной функции.
Случайная функция – такая функция, которая в результате опыта принимает тот или иной конкретный вид, причем заранее не известный какой именно. Аргумент такой функции – неслучайный. Если аргумент – время, то такая функция называется случайным процессом. Примеры случайных процессов:
· координаты цели, измеряет РЛС;
· угол атаки самолета;
· нагрузка в электрической цепи.
Особенность случайной функции (процесса) в том, что при фиксированном значении аргумента (t) случайная функция является случайной величиной, т.е. при t=tiХ(t)=X(ti) – случайная величина.
Рис. 2.1. Графическое представление случайной функции
Значения случайной функции при фиксированном аргументе называются его сечением. Т.к. случайная функция может иметь бесконечное множество сечений, а в каждом сечении она представляет собой случайную величину, то случайную функцию можно рассматривать как бесконечномерный случайный вектор.
Теория случайных функций часто называется теорией случайных (стохастических) процессов.
Для каждого сечения случайного процесса можно указать mx(ti), Dx(ti), sx(ti) и в общем случае – wх(ti).
Кроме случайных функций времени иногда используются случайные функции координат точки пространства. Эти функции приводят в соответствие каждой точке пространства некоторую случайную величину.
Теория случайных функций координат точки пространства называют теорией случайных полей. Пример: вектор скорости ветра в турбулентной атмосфере.
В зависимости от вида функции и вида аргумента различают 4 типа случайных процессов.
Таблица 2.1
Типы случайных процессов
| Значение аргумента t | Значение функции Х | Примеры случайных процессов |
| дискретное | дискретное | Случайный процесс в ЦВМ |
| дискретное | непрерывное | Падение капель дождя - ti, Х – размер лужи |
| непрерывное | дискретное | Количество звонков через АТС |
| непрерывное | непрерывное | Высота полёта самолёта |
Кроме того различают:
1. Стационарный случайный процесс – вероятностные характеристики которого не зависит от времени, т.е. wх(х1,t1)=wх(х2,t2)=…wх(хn,tn).
2. Нормальный случайный процесс – совместная плотность вероятности сечений t1 … tn – нормальная.
3. Марковский случайный процесс (процесс без последствия) состояние в каждый момент времени которого зависит только от состояния в предшествующий момент и не зависит от прежних состояний. Марковская цель – последовательность сечений марковского случайного процесса.
4. Случайный процесс типа белого шума – в каждый момент состояния не зависит от предшествующего.
Существуют и другие случайные процессы.
2.2. Вероятностные характеристики случайных процессов
В общем случае, в каждом сечении случайного процесса имеется свой закон распределения wх(х1,t1), wх(х2,t2), … wх(хn,tn), со своими характеристиками.
Вероятностные характеристики сечения случайного процесса определяются также как и для случайных величин:
· математическое ожидание (среднее по множеству):
; (2.1)· дисперсия:
, (2.2)где
.Графически:
Рис. 2.2. Графическое представление множества реализаций
случайного процесса
В некоторых случаях необходимо найти среднее значение случайной величины по отдельной реализации (осреднение по времени):
. (2.3) 
Рис. 2.3. Графическое представление средней величины
Для решения задач, в которых приходится рассматривать совместно два и более сечений случайной функции, необходимо ввести совместные законы распределения для нескольких её сечений. Двухмерная плотность вероятности случайного процесса X(t) – совместная плотность вероятности двух её сечений X(t1) и X(t2). Обозначается w2(х1, х2, t1, t2) или w2(х1, t1, x2, t2). Соответственно, n-мерная плотность вероятности – wn(х1, t1, … xn, tn). Зная n-мерную плотность вероятности, можно определить все её плотности вероятности меньше, чем n размерности. Например, для получения плотности вероятности wm(х1, t1, … xm, tm) (m<n) достаточно проинтегрировать n-мерную плотность по переменным xm+1 … хn.
. (2.4)Для решения инженерных задач использовать многомерные законы распределения неудобно. Для этого используют аппарат простейших характеристик, к которым относятся:
· математические ожидания;
· дисперсии;
· корреляционные функции;
· взаимные корреляционные функции.
Реже применяют другие моментные характеристики (кумулянты, семиинварианты и т.д.)
Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется такая неслучайная функция mx(t), которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции X(t).
При известной одномерной плотности вероятности w1(х, t)
. (2.5)Дисперсия случайной функции X(t) – такая неслучайная функция Dx(t), которая при каждом значении аргумента t равна дисперсии соответствующего сечения случайной функции X(t).
(2.6)или
Для случайного процесса применимо «правило 3-х сигм», т.е.
[mx–3s; mx+3s] образуют «коридор» внутри которого заключены почти все реализации случайного процесса X(t).