Расчет систем управления при случайных воздействиях (стр. 7 из 11)
Если
, то получим 
. (3.13)Для некоррелированных функций
. (3.14)Для некоррелированных случайных функций
, (3.15)где
.3.2.2.Сложение случайной функции и неслучайной
Рис. 3.5. Сумматор случайной и неслучайной функции
W(t)=X(t)+j(t), где φ(t) – неслучайная функция, например:
и т.д.Известно также: mx(t), Kx(t1, t2).
Нужно определить: mw(t), Rw(t1, t2), Dw(t).
1) mw(t)=mx(t)+j(t).
2)
(3.16)где
.Вывод: если к случайной функции прибавить неслучайную, то корреляционная функция не изменится.
3.2.3.Умножение случайной функции на неслучайную функцию
Обозначим: U(t)=ψ(t)X(t), ψ(t) – неслучайная функция.
Известно также: mx(t), Rx(t1, t2).
Требуется определить: mu(t), Ru(t1, t2).
Рис. 3.6. Мультиплексор случайной и неслучайной функций
1) mu(t)=mu(t)ψ(t).
2)
где
.Вывод. Если случайная функция умножается на неслучайную, то её корреляционная функция умножается на неслучайную дважды: один раз при аргументе t1, другой раз при t2.
Приложение. Комплексная случайная функция
, (3.17)для которой известны характеристики X1(t) и X2(t):
1)
. (3.18) 
(3.19)где
– (3.20)центрированная комплексно-сопряжённая функция в сечении t2.
Примечание: если X1(t) и X2(t) не коррелированны, то:
. (3.21)3)
. (3.22)3.2.4.Дифференцирование случайных функций (процессов).
Обозначим произведение случайного процесса:
Дано:
, 
(можно менять местами операции дифференцирования и математического ожидания). 
.Об X(t) известно: mx(t) и Dx(t).
Требуется найти
; 
; 
.Т.о. получили
.Математическое ожидание производной равно производной от математического ожидания:
где
, 
.Таким образом
.Для производных более высокого порядка, если
, то 
Пусть имеем: Yq(t)=X(q)(t), тогда:
. (3.23)Замечание. В общем случае, определение производной не применимо к случайным функциям т.к. определение предела не применимо к случайным величинам в строгом его понимании. Действительно,
. (3.24)Величина YD(t) равна отношению приращения случайной величины при фиксированном t к Dt.
Если последовательность Dt стремится к нулю Dt®0, то последовательность {YD(t)} стремится к какому-то пределу в вероятностном смысле, а не в обычном.
Будем рассматривать предел в среднем квадратическом. Случайная функция X(t) со скалярным аргументом t дифференцируема, если существует случайная функция Y1(t), называемая производной X(t), такая что
. (3.25)Из определения следует, что производная случайной функции X(t) – предел в среднем квадратическом отношения приращения функции к приращению аргумента Dt. Это записывается как
. (3.26)Обоснуем замену
.Для этого найдём
. 
3.2.5.Интегрирование случайной функции
Рассмотрим интеграл Дюамеля:
, (3.27)где g(t, τ) – некоторая функция двух переменных (весовая функция), X(τ) – случайная функция, t–t0=T – область интегрирования. Известно также: mx(τ); Rx(τ1, τ2).
Требуется определить:
. 
Рис. 3.7. Интегратор случайных функций
Пример: система счисления пути (рис. 3.8).
Рис. 3.8. Система счисления пути по карте
1) Определение математического ожидания.
(3.28)2) Определение корреляционной функции:
. (3.29)Вычитаем из выражения для Y(t) выражение для
. 
.3) Определение дисперсии.
Берём одно сечение t1=t2=t
. (3.30)Отсюда следует, что корреляционная функция – положительно определённая функция.
Замечание. Данное выше решение задачи: определение математического ожидания и корреляционной функции интеграла от случайной функции является пока не строгим по двум причинам:
1) не строгим было изменение порядка операций интеграла и М[…];
2) обычное определение интеграла не применимо к случайным функциям по тем же причинам, что и при дифференцировании.
Случайную функцию X(t) будем называть интегрируемой по области Т с весом g(t, t), если существует случайная функция Y(t), называемая интегралом такая, что
. (3.31)Для любых tk, разбивающих область интегрирования на произвольные участки Dtk.
Рис. 3.9. Разбиение области интегрирования
Из определения интегрируемости случайной функции следует, что интеграл Y(t) – предел в среднем квадратическом от интегральной суммы:
. (3.32)3.3. Свойства корреляционных и взаимно корреляционных функций
1. Корреляционная функция Rx(t1, t2) симметрична относительно своих аргументов:
Rx(t1, t2) = Rx(t2, t1) (3.33)
в соответствии с определением корреляционной функции X(t).