Расчет систем управления при случайных воздействиях (стр. 8 из 11)
Корреляционная функция комплексной случайной функции при перестановке аргументов заменяется комплексной сопряжённой функцией:
. (3.34)так же
2. При добавлении к случайной функции X(t) произвольного неслучайного слагаемого j(t), корреляционная функция случайной величины не изменяется, т.е. если
(3.35)то Rz(t1, t2) = Rx(t1, t2).
3. При умножении случайной функции X(t) на произвольный неслучайный множитель ψ(t) корреляционная функция Rx(t1, t2) умножается на ψ(t1)ψ(t2):
4.
.5. Корреляционная функция является положительно определённой функцией, т.е.
, (3.36)где j(τ1), j(τ2) – произвольные функции при t=τ1 и t=τ2. Так как
, (3.37)т.е. дисперсия случайной функции всегда неотрицательна. Аналогичными свойствами обладает и взаимная корреляционная функция двух случайных функций.
. (3.38)Для комплексных случайных функций
.6. Взаимная корреляционная функция двух случайных функций X(t) и Y(t) не изменяется при добавлении к этим случайным функциям произвольных неслучайных функций.
7. Если U(t)=ψ1(t)X(t); V(t)=ψ2(t)Y(t), то RUV(t1, t2)=ψ1(t1)ψ2(t2)Rxy(t1, t2).
8.
.Кроме указанных выше свойств корреляционной функции и взаимно корреляционной функции следует, что
(3.39)где ρx(t1, t2), ρxy(t1, t2) – нормированные корреляционные функции.
3.4. Экспериментальное определение корреляционных функций
Корреляционную функцию процесса можно определить экспериментально на основании снятой кривой (реализации) данного процесса при достаточно длительной записи.
Обработка имеющейся записи процесса (осциллограммы) производится следующим образом.
Рис. 3.10. Определение корреляционной функции
по снятой экспериментально кривой
Весь интервал записи осциллограммы Т делится на N равных частей, длительность которых составляет
; T>>Dt.Для различных значений t=mDt находят средние значения произведений ординат (формула математической статики):
. (3.40)При этом необходимо выделить постоянную составляющую
. (3.41)По этим значениям строится график корреляционной функции в зависимости от интервала m или времени t=mDt.
Корреляционную функцию можно найти по результатам эксперимента при помощи специальных приборов-корреляторов, которые автоматически вычисляют среднее произведение двух ординат осциллограммы (реализации процесса), отстоящих друг от друга на время t.
4. Спектральная плотность стационарных случайных процессов
Проведем поэтапный вывод спектрального разложения:
1) Представим стационарную случайную функцию X(t) как сумму синусоидальных функций частоты w1, w2, … – разложим X(t) в ряд Фурье:
, (4.1)или то же самое представим в комплексной форме:
(4.2)Коэффициенты разложения Zk, Uk, Ck определяются по формулам Эйлера-Фурье. В выражении (4.1) Zk, Uk – некоррелированные центрированные случайные величины (амплитуды колебаний) с дисперсиями, одинаковыми для каждой пары случайных величин Zk и Ukс одним и тем же индексом k:
, (4.3)где Ck – соответственно комплексная случайная величина.
Координатными функциями разложения (4.1) являются функции sinwkt и coswkt при различных частотах wk. Такое разложение называется спектральным разложением стационарной случайной функции. Частоты wk(k=1, 2, …) являются кратными некоторой основной частоте (первой):
, (4.4)соответствующей периоду 2T:
. (4.5)Спектральное разложение представляет собой случайную функцию X(t) в виде гармонических колебаний различных частот со случайными амплитудами (рис. 4.1). Спектр стационарного случайного процесса характеризует распределение дисперсий случайных амплитуд по частотам. Спектральное разложение (4.1) является разложением случайной функции X(t) на конечном интервале наблюдения T.
Рис. 4.1. Колебания различных частот со случайными амплитудами
Такое разложение находит широкое применение при исследовании автоматических, радиотехнических и других систем. Для исследования спектрального разложения удобно представлять его в комплексной форме.
2) Рассмотрим входящую в (4.1) гармонику частоты wk:
, (4.6)где Zk, Uk – случайные амплитуды с характеристиками:
. (4.7)Представим Zk(t) в комплексной форме с помощью формул Эйлера:
; 
. (4.8)Подставим выражение (4.8) в (4.6):
. (4.9)Введём обозначения:
(4.10)Тогда выражение (4.9) примет следующий вид:
. (4.11)3) Определим вероятностные (моментные) характеристики комплексных случайных величин Vk, V–k. Очевидно, что они центрированы:
, (4.12)так как составляющие их случайные величины также центрированы (4.7), то можно определить корреляционный момент Vk, V–k:
(4.13)Так как по условию D[Uk]=D[Zk]=Dk; Uk, Zk – некоррелированы, определим дисперсии Vk, V–k соответственно:
, 
. (4.14)Таким образом
. (4.15)Следовательно, как видно из выражений (4.11) и (4.14) случайные величины Vk, V–k – амплитуды гармонического колебания Xk(t) с частотами wk, (–wk). А Vk, V–k – комплексные центрированные некоррелированные случайные величины с одинаковыми дисперсиями
.4) Определим корреляционную функцию случайного процесса Xk(t):
, (4.16)где
; 
. (4.17)Подставляя (4.17) в (4.16), получим:
где t1–t2=τ.
Учитывая выражение (4.14) и некоррелированность Vk, V–k, получим:
. (4.18)Таким образом, дисперсия случайной гармоники Xk(t) при представлении её в комплексной форме делится пополам между гармоникой положительной частоты wk и отрицательной частоты (–wk), что представлено на рис. 4.2.