Расчет систем управления при случайных воздействиях (стр. 9 из 11)
Рис. 4.2. Дисперсия случайной гармоники Xk(t)
5) Рассмотрим распределение по частотам w1, w2, … wkдисперсий гармоник Xk(t), соответствующих этим частотам.
В соответствии с (4.1) и (4.11) представим случайный процесс X(t) в комплексной форме:
. (4.19)Обозначим отрицательные частоты:
(4.20)Суммируем отдельно слагаемые, соответствующие положительным и отрицательным частотам:
(4.21)Заметим, что сумму отрицательных слагаемых можно выразить таким же образом, как и сумму положительных слагаемых:
. (4.22)С учётом (4.22) выражение (4.19) примет вид:
. (4.23)Здесь мы объединили две суммы в одну, так как первая сумма содержит слагаемые с номерами kÎ[1, ¥], а вторая – с номерами kÎ[–¥, 1], поэтому можно рассматривать сумму членов с номерами kÎ[–¥, ¥] за исключением номера k=0. Полученное выражение (4.23) представляет собой стационарный случайный процесс X(t), составленный из случайных гармоник частоты wk, kÎ(–¥, ¥), k¹0 в виде линейных комбинаций показательных функций со случайными коэффициентами.
6) Определим корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса X(t). Корреляционная функция процесса X(t) является чётной (Rx(τ)=Rx(–τ)), т.к. процесс стационарный. Следовательно, на графике она представлена симметричной кривой (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Корреляционная функция процесса X(t)
Свойства X(t), представленного в виде ряда Фурье:
а) при изменении t1, t2 от 0 до Tаргумент τ=t1–t2 изменяется от –T доT;
б) корреляционная функция Rxk(t1, t2) гармоники wk определяется формулой (4.18);
в) Случайная функция (процесс) X(t) представляется в виде суммы гармоник различных частот (4.23);
г) Так как члены суммы (4.23) некоррелированы, то корреляционная функция Rx(t1, t2) равна сумме корреляционных функций слагаемых.
На основании данных свойств и с учётом выражений (4.18), (4.20) и (4.22), получим:
. (4.24)д) Для определения дисперсии случайного процесса X(t) достаточно в выражении (4.24) представить t1=t2=t.
, (4.25)где введено обозначение
, т.е. ряд Фурье можно представить в виде: 
. (4.26)Выражение (4.24) или (4.26) показывает, что частотам ±wk соответствуют дисперсии случайных амплитуд гармоник Xk(t), т.е. корреляционная функция разложена в ряд Фурье.
Распределение дисперсии по частотам определяет так называемый спектр дисперсий стационарной случайной функции. Спектр дисперсий можно изобразить на графике в виде линейчатого спектра (рис. 4.4).
Рис. 4.4. Спектр дисперсий
На рис. 4.4 по оси абсцисс откладываются частоты wkв соответствии с формулой (4.5), а по оси ординат – соответствующие этим частотам дисперсии.
7) Перейдём от математической абстракции к физическим процессам. Так как отрицательные частоты физически не существуют, формулы (4.24), (4.25), (4.26) можно переписать только для положительных частот w1, w2, … wk. При этом дисперсии, соответствующие этим частотам, необходимо удвоить.
; (4.27) 
. (4.28)Спектр дисперсий, соответствующий только положительным частотам представлен на рис. 4.5. Формула (4.28) показывает, что дисперсия стационарного процесса X(t) равна дисперсий всех гармоник его спектрального разложения. Формула (4.26) даёт разложение корреляционной функции Rx(τ) случайного процесса X(t), tÎ[0, T] в ряд Фурье, коэффициентами которого являются дисперсии dk. А dk вычисляются как коэффициенты ряда Фурье:
, k=±1, ±2, … (4.29) 
Рис. 4.5. Спектр дисперсий, соответствующий положительным частотам
Таким образом, X(t) и её корреляционная функция Rx(τ) разложены в ряд Фурье. Дисперсии гармоник dk – коэффициенты ряда Фурье для корреляционной функции.
4.2. Спектральное разложение стационарных случайных функций (процессов) в непрерывный спектр дисперсии
Перейдём к рассмотрению непрерывного спектра дисперсий стационарной случайной функции X(t).
Для этого будем рассматривать X(t) при T®¥. Тогда расстояния между опорными частотами
будут неограниченно уменьшаться, так как при 
.При этом дискретный спектр дисперсии будет неограниченно приближаться к непрерывному, в котором бесконечно малому интервалу частот Dwk=wk–wk–1 будет соответствовать элементарная дисперсия dk(wk).
Прежде, чем перейти к пределу, рассмотрим допредельный случай, когда интервал Dw®0, но ещё не равен нулю (рис. 4.6). Физический смысл мы рассматривали ранее.
Рис. 4.6. Дискретный спектр дисперсий
Примем следующие допущения:
1) по оси абсцисс (ось частот) отложим отрезки
: 
Рис. 4.7. Средняя плотность дисперсий
2) по оси ординат (ось дисперсий) будем откладывать среднюю плотность дисперсии – дисперсию dk, отнесённую к величине Dw
, (4.30)т.е. на каждом отрезке Dw как на основании построим прямоугольник площадью dk. Это напоминает гистограмму статистического распределения случайной величины.
Таким образом, ордината
имеет физический смысл средней плотности дисперсии и называется спектральной плотностью, т.е. 
, (4.31)здесь эта величина и есть спектральная плотность процессаX(t).
Очевидно, что сумма площадей всех прямоугольников равна дисперсии Dx случайной функции X(t) в соответствии с приведённой ранее формулой:
. (4.32)Ранее были получены формулы, выражающие спектральное разложение стационарной случайной функции X(t), tÎ[1, T] в дискретный спектр дисперсий:
(4.33) 
(4.34) 
(4.35)Заменим случайные величины Vk (комплексные амплитуды гармонических колебаний) случайными величинами V(wk)×Dw, т.е.
(4.36)Соответственно в формулах (4.34) и (4.35) заменим дисперсии dk произведениями zx(wk)×Dw, т.е.
; (4.37) 
. (4.38)Преобразуем формулу (4.36) для dk. Для этого разделим обе части формулы на величину Dw¹0
и учтём, что: 
. (4.39)Формула (4.36) примет вид:
. (4.40)Осуществим предельный переход:
.С учётом этого формулы (4.37) и (4.41) примут вид:
(4.41) 
(4.42) 
(4.43) 
(4.44)Формула (4.43), выражающая корреляционную функцию стационарного случайного процесса через её спектральную плотность, была впервые получена в начале 30-х годов для ограниченного класса случайных процессов американским математиком, «отцом» кибернетики Норбертом Винером (1894-1964). Несколько позже эту формулу для любых стационарных случайных процессов вывел советский математик Александр Яковлевич Хинчин (1894-1959). Поэтому формулы (4.43) и (4.45), связывающие Rx(τ), Sx(w) называют формулами Винера-Хинчина.