Последовательные правила различения сложных гипотез (стр. 1 из 2)

7. Последовательные правила различения

сложных гипотез.

7.1. Общие положения.

Как уже упоминалось, одно из условий, при которых доказана теорема Вальда-Вольфовитца об оптимальности вальдовской процедуры, состоит в том, что различаемые гипотезы являются простыми, т.е. выборочные распределения, соответствующие гипотезам

и полностью известны. Для представляющего основной практический интерес случая различения сложных гипотез общие принципы построения оптимальных последовательных процедур остаются теми же, что и при фиксированном объеме выборки. Однако необходимо учитывать ряд особенностей, порождаемых случайным объемом выборки последовательной процедуры. Проиллюстрируем сказанное двумя наглядными примерами.

7.2 Сигнал с неизвестным энергетическим параметром.

До сих пор мы предполагали, что если справедлива гипотеза

, т.е. сигнал присутствует, то его амплитуда совпадает с расчетным значением , которому соответствует распределение . На практике амплитуда сигнала может отличаться от расчетной (быть как меньше, так и больше последней). В терминах теории статистических решений эта ситуация означает, что простой гипотезе противопоставляется односторонняя альтернатива: .

Естественный подход к задаче различения таких гипотез в классе правил с фиксированным объемом выборки состоит в том, что обнаружитель рассчитывается на некоторое минимальное значение расчетного сигнала

, для которого при заданном объеме выборки вероятность пропуска не превышает допустимой. Вероятность обнаружения сигналов с параметром , отличающимся от расчетного, определяется характеристикой обнаружения (см. раздел 5).

Аналогичный подход возможен и при последовательном анализе; характеристика обнаружения такой процедуры приведена на рис.7.1, там же изображены зависимости математического ожидания и дисперсии длительности последовательной процедуры от отношения

. Отличительной особенностью этих зависимостей является характерный максимум, наблюдаемый при некотором .

Описанный эффект нарастания математического ожидания и дисперсии длительности последовательной процедуры часто называют “резонансомдлительности”. В случае симметричных порогов резонанс длительности наступает при равенстве нулю среднего приращения решающей статистики

, когда решающая статистика совершает случайные блуждания между порогами, не имея регулярного “сноса” ни к одному из них. При несимметричных порогах резонанс наступает при наличии некоторого “сноса” в сторону более удаленного порога. Необходимо подчеркнуть, что и в точке резонанса длительность последовательной процедуры остается конечной, (ее мат. ожидание в этом случае определяется не формулой (7.4), а зависит от дисперсии решающей статистики). Следует также отметить, что в большинстве случаев последовательное решающее правило при всех значениях требует среднего объема выборки, не превышающего объема выборки правила Неймана-Пирсона, обеспечивающего ту же вероятность правильного обнаружения .

Тем не менее, с точки зрения практики эффект резонанса длительности последовательной процедуры, связанный с неоптимальностью вальдовского решающего правила при всех значениях параметра

, не совпадающих с расчетными значениями и , нежелателен. Ниже будут рассмотрены методы уменьшения этого эффекта.

7.3. Многоканальная последовательная процедура с независимыми решениями.

Пусть в некоторой области пространства параметров решается задача проверки простой гипотезы

об отсутствии в ней сигналов против сложной альтернативы о наличии сигналов, при этом решение в пользу должно сопровождаться оценкой числа сигналов и неизвестного параметра каждого из них, т.е. система должна обладать разрешающейспособностью по этим параметрам. Из двух возможных вариантов построения схемы совместного обнаружения -оценивания – многоканальной и следящей (самонастраивающейся) рассмотрим только первый вариант. (Следящие схемы, обеспечивающие обнаружение и разрешение нескольких одновременно наблюдаемых сигналов оказываются весьма сложными ). Типичным примером такой ситуации является обнаружение в РЛС с разрешением по дальности или ( ) доплеровской скорости. Проверка гипотез о наличии или отсутствии цели при этом проводится параллельно во всех элементах разрешения (каналах), принадлежащих одному угловому направлению и наблюдение должно продолжаться до тех пор, пока не будет принято решение относительно каждого из них. За оценки неизвестных параметров в первом приближении могут быть приняты номера каналов в которых принято решение о наличии целей.

В рамках правил с фиксированным объемом выборки для решения поставленной задачи вполне обоснованно применяется так называемое правилоснезависимымирешениями. Согласно этому правилу, решение в каждом канале принимается на основании сравнения накопленного в нем за

шагов парциального отношения правдоподобия (или его логарифма ) с решающим порогом ; при в соответствующем канале принимается гипотеза , в противном случае - . Как было показано (см. раздел 4;5) вероятность ложной тревоги на выходе такой системы . Для того, чтобы поддерживать на фиксированном уровне, при увеличении числа каналов необходимо обратно пропорционально уменьшать величину , что эквивалентно увеличению решающего порога примерно пропорционально .Одновременно, для поддержания постоянства вероятности пропуска также пропорционально должен увеличиваться объем решающей выборки , что совпадает с размером неизбежной “платы” за априорную неопределенность, присущей оптимальным правилам (см. раздел 4). Таким образом, при фиксированном объеме выборки правило с независимыми решениями оказывается достаточно близким к оптимальному.

Предположим теперь, что момент завершения процедуры в каждом канале не фиксируется заранее, а определяется вальдовским последовательным правилом (6.1). Очевидно, что необходимость увеличения верхнего решающего порога последовательной процедуры

для поддержания фиксированной частоты ложных тревог на выходе многоканального обнаружителя в данном случае сохраняется; соответственно (примерно пропорционально , см. формулу (6.4)) возрастает длительность обнаружения . Однако более существенным в данном случае оказывается другой эффект, непосредственно связанный со случайным характером решающей выборки. Рассмотрим его подробнее.