Сигналы и процессы в радиотехнике СиПРТ (стр. 5 из 6)
Распишем (5.11) подробнее, при этом заметим, что как видно из рисунка 5.3 отсчеты с номерами от 0 до 8 равны 1, а 9 равен 0. С учетом всего сказанного получим:
. (5.12)При помощи простых математических преобразований представим (5.12) в виде дробно-рационального выражения:
. (5.13)Задание №6.
Условие:
Уравнения цифровой фильтрации имеют вид:
(6.1)Требуется:
1. Составить структурную схему фильтра.
2. Найти передаточную функцию фильтра. Определить полюса передаточной функции и нанести их на
- плоскости. Сделать вывод об устойчивости.3. Рассчитать и построить АЧХ и ФЧХ фильтра.
4. Найти системную функцию фильтра. Определить полюса системной функции и нанести их на
- плоскости. Сделать вывод об устойчивости.5. Рассчитать и построить импульсную характеристику фильтра.
6. Рассчитать и построить выходной сигнал цифрового фильтра, если на вход подаётся дискретный сигнал из задания 5.
Исходные данные:
Решение:
1. Данный фильтр реализовывается с помощью рекурсивного фильтра 1-го порядка. Схема данного фильтра представлена на рисунке 6.1:  |
Рисунок 6.1 - Рекурсивный фильтр
2. Передаточная функция цифрового фильтра имеет вид:
, (6.2)где ак, bk коэффициенты уравнения;
- интервал дискретизации; 
- количество элементов задержки в трансверсальной части; 
- количество элементов задержки в рекурсивной части.Найдём полюса передаточной функции с помощью формулы:
(6.3)Для нахождения полюсов воспользуемся [3]:
Для обеспечения устойчивости необходимо и достаточно, чтобы полюса передаточной функции находились в левой полуплоскости комплексного переменного p. Поскольку
- система устойчива.3. С помощью [3] рассчитаем и построим АЧХ и ФЧХ фильтра:
(6.4)Для данной передаточной функции с помощью [3] построим АЧХ и ФЧХ фильтра (рисунок 6.2):
Рисунок 6.2 - а) АЧХ фильтра; б) ФЧХ фильтра.
4. Найдем системную функцию фильтра путем замены ePT на Z. Системная функция будет иметь вид:
(6.5)Устойчивость фильтра оценивается расположением полюсов системной функции на z плоскости. Фильтр устойчив, если полюса системной функции расположены внутри круга единичного радиуса с центром в точке
.Определим полюса системной функции в плоскости Z с помощью [3]:
- т.е. система устойчива.5. Импульсная характеристика
- это реакция цифрового фильтра на воздействие в виде единичного импульса 
(функция Кронекера). Используя уравнение цифровой фильтрации, получаем: 
(6.6)где
Для данного фильтра импульсная характеристика будет определятся формулой:
(6.7)График импульсной характеристики представлен на рисунке 6.4:
Рисунок 6.4.-Импульсная характеристика.
6. Графики входного дискретного сигнала и выходного цифрового сигнала (рисунок6.3):
Рисунок 6.3 - а) входной дискретный сигнал; б) выходной цифровой сигнал.
Задание №7
Условие:
Синтезировать согласованный фильтр для данного сигнала.
Требуется:
1. Определить комплексный коэффициент передачи фильтра.
2. Синтезировать структурную схему фильтра.
3. Определить и построить выходной сигнал (под входным).
4. Оценить отношение сигнал/помеха на выходе в зависимости от
.Исходные данные:
Когерентная пачка из
радиоимпульсов с прямоугольной огибающей и скважностью равной 
, 
Рисунок 7.1 – Входной сигнал
Решение:
1. Синтезировать согласованный фильтр удобно при помощи его комплексного коэффициента передачи. Запишем общую формулу для его определения [2]:
. (7.1)Где
- постоянный коэффициент; 
- функция, комплексно сопряженная со спектральной плотностью входного сигнала; 
- время задержки пика выходного сигнала.Для
существует ограничение - 
, это связано с физическими принципами работы согласованного фильтра [2]. Однако обычно полагают: 
. (7.2)Из формулы (7.1) видно, что задача сводится к определению спектральной плотности входного сигнала. Для ее определения разобьем входной сигнал на отдельные импульсы, затем определим спектр одного из них, а результат запишем в виде суммы вышеопределенных спектральных плотностей всех составляющих пачки, но сдвинутых по времени на расстояния кратные периоду их следования.
Итак, определим
- спектр одиночного радиоимпульса, путем применения свойства [2], в котором говорится, что спектр радиосигнала это есть спектр его огибающей только сдвинутый в область высоких частот (окрестность 
). 
. (7.3)Где
- спектральная плотность для огибающей одиночного радиоимпульса, смещенная в область ВЧ на .Запишем аналитическое выражение для огибающей радиоимпульса:
. (7.4)Определим
, для этого применим прямое преобразование Фурье [7]. 
; 
. (7.5)Представим формулу для
, заменив в (7.5) 
на 
: