Випадкові процеси та одновимірні закони розподілу ймовірностей (стр. 2 из 3)

Функції

та статистично повністю характеризують значення випадкової функції у заданий момент часу і тому їх називають одновимірними. Ці функції є найпростішими характеристиками випадкового процесу, оскільки вони дають уявлення про процес лише в окремі фіксовані моменти часу.

У таблицях 1 та 2. подані деякі найбільш поширені одновимірні закони розподілу ймовірностей випадкових процесів.

Таблиця 1 – Типові одновимірні функції розподілу ймовірностей випадкових процесів

Назва закону	Одновимірна функція розподілу	Графік функції
1	2	3
Рівномірний
Експоненційний
Нормальний (закон Гауса)	- інтеграл імовірностей

Таблиця 2 – Типові одновимірні функції розподілу ймовірностей випадкових процесів

Назва закону	Одновимірна густина розподілу	Графік функції
Рівномірний
Експоненційний
Нормальний (закон Гауса)

Проходження сигналів в електронних колах супроводжується різноманітними перетвореннями характеристик сигналів. У випадкових сигналів можуть змінюватися закони їх розподілу, аналітичний розрахунок часто дуже складний.

Виявляється, що значно простішим є завдання розрахунку певних числових характеристик законів розподілу, які можна визначити на основі нескладних експериментів. У багатьох випадках точність розрахунків, що забезпечують згадані числові характеристики, цілком задовільна для потреб практики. Такими числовими характеристиками є моменти випадкової величини. Вони є детермінованими числами.

Момент

-го порядку неперервної випадкової величини визначають за формулою:

(11)

де

– одновимірна густина розподілу ймовірностей випадкової величини .

Момент першого порядку

(12)

називають математичним сподіванням або середнім значенням випадкової величини.

Зауважимо, що згідно з (12) усереднення випадкової величини

проводиться по ансамблю із реалізацій випадкового процесу. Статистичне визначення його середнього значення у перетині в момент часу здійснюємо за формулою:

(13)

Для прикладу визначимо моменти першого та другого порядку для рівномірного та експоненційного закону розподілу ймовірностей (табл. 1 та 2).

Рівномірний закон розподілу.

Математичне сподівання

(14)

Момент другого порядку

(15)

Експоненційний закон розподілу.

Математичне сподівання

(16)

Момент другого порядку

(17)

Взаємозв'язок між формою закону розподілу ймовірностей та його числовими характеристиками стає більш наочним при використанні поняття центрованої випадкової величини. Випадкова величина називається центрованою, якщо її середнє значення дорівнює нулеві.

Отже, випадкова величина

центрується відніманням від неї середнього значення :

(18)

Із (18) випливає, що центрування випадкової величини є рівнозначне зміщенню початку координат на графіку одновимірної густини розподілу ймовірностей

на величину вздовж осі абсцис і не приводить до деформації закону розподілу. Сказане ілюструє рис. 4.

Рисунок 4 – Центрування випадкової величини

Ha відміну від початкових моментів, які визначають за формулою (11), моменти центрованої величини називають центральними моментами.

Центральний момент

ro порядку визначають за формулою:

(19)

Центральний момент першого порядку центрованої випадкової величини завжди дорівнює нулеві за означенням:

. (20)

Центральний момент другого порядку

(21)

Із (21) випливає, що другий центральний момент можна визначити через початкові моменти таким чином:

(22)

Цей момент характеризує розсіювання можливих значень випадкової величини

відносно її середнього значення і називається дисперсією. Стосовно електричних сигналів дисперсія характеризує потужність відхилень випадкової величини від середнього значення, яка виділяється на навантаженні в 1 Ом.

Часто використовують таке позначення дисперсії:

. (23)

Величину

, що дорівнює додатному значенню кореня квадратного з центрального моменту другого порядку, називають середнім квадратичним відхиленням випадкової величини .

Розмірність

збігається із розмірністю випадкової величини і тому її можна використовувати для оцінювання ширини кривої густини розподілу ймовірностей: чим більше значення , тим ширшим є графік функції .

На основі ансамблю з

реалізацій випадкового процесу статистичне визначення дисперсії проводимо за формулою:

(24)

Визначимо перший та другий центральні моменти для рівномірного та експоненційного законів (табл.1 та 2).