Последовательные процедуры различения сложных гипотез с использованием комбинированной решающей (стр. 2 из 2)

.

Здесь

индексы тех каналов, где множество таких индексов. Статистика сравнивается с верхним решающим порогом ; при принимается решение о наличии сигналов во всех каналах, парциальные статистики которых вошли в статистику обнаружения .С нижним порогом сравнивается обобщенное отношение правдоподобия всех прочих каналов, т.е. вычисленное по множеству индексов , не входящих в . Если , считается, что в этих каналах сигналов нет (принимается ), и процедура завершается.

Результаты исследования описанной процедуры показывают, что при правильно выбранном промежуточном пороге

ее средняя длительность практически не зависит от числа одновременно наблюдаемых сигналов.

Обратим внимание, что для последней процедуры статистика обнаружения

представляет собой произведение входящих в нее парциальных отношений правдоподобия, а не их сумму, как имело место в случае обнаружения единственного сигнала (см. выше). Соответственно, логарифм данной статистики пропорционален сумме логарифмов парциальных статистик (сравните с формулой 12.2). Очевидно, что скорость накопления такой статистики оказывается в среднем в

раз больше, чем в случаях, рассмотренных ранее. Не вдаваясь в тонкости, данный результат можно качественно пояснить следующим образом. Каналы, где был превышен промежуточный верхний порог, с большой вероятностью содержит сигнал, поэтому суммирование логарифмов отношений правдоподобия в данном случае означает суммирование энергий полезных сигналов, а не накопление шумов, как это имеет местов случае, когда большинство каналов являются “пустыми”.

8.3. Обнаружение сигнала с неизвестной амплитудой

Как уже отмечалось в разделе 7, при наблюдении сигала с энергетическим параметром (амплитудой или средней мощностью), не совпадающим с расчетным значением, может возникнуть нежелательный эффект “резонанса” длительности последовательной процедуры. Естественным способом устранения, или по меньшей мере, снижения этого эффекта представляется применение процедуры совместного обнаружения - оценивания , позволяющей уточнить значение неизвестного параметра и “ подстроить” под него обнаружитель.

Однако необходимо иметь в виду, что в случае, когда неизвестным является энергетический параметр сигнала, непосредственно определяющий статистическое “расстояние” между различаемыми гипотезами, процедура проверки гипотезы

на основании решающей статистики, зависящей от оценки этого параметра, не является корректной.

Действительно, при

истинному (нулевому) значению неизвестного параметра соответствует нулевое среднее приращение решающей статистики, т.е. по мере настройки обнаружителя на несмещенную оценку этого параметра задача различения гипотез вырождается (необходимое время наблюдения в асимптотике стремится к бесконечности). Поведение такой процедуры при конечном времени наблюдения зависит от многих факторов, в том числе от формы априорного распределения неизвестного параметра, что затрудняет ее практическое использование.

Устранить указанную некорректность можно за счет построения процедуры совместного обнаружения - оценивания по принципу комбинированной решающей статистики.

При построении такой процедуры будем исходить из вполне обоснованной предпосылки, что допустимое среднее время проверки гипотезы

всегда ограничено техническими, тактическими или другими соображениями. Очевидно, что за отведенное время с требуемой вероятностью пропуска может быть проверена лишь гипотеза об отсутствии сигнала с некоторым минимальным расчетным значением энергетического параметра . Логарифм отношения правдоподобия, рассчитанный при этом значении и следует использовать для проверки гипотезы .

С другой стороны, процедуру проверки гипотезы

целесообразно строить на основе статистики, зависящей от оценки неизвестного параметра . Условие прекращения наблюдения при этом состоит в выходе любой из статистик: или за соответствующий решающий порог. При одновременном пересечении обоих порогов приоритет принадлежит решению в пользу , т.к. гипотеза в таком обнаружителе предполагает лишь отсутствие сигнала с параметром , а альтернатива наличие любого сигнала, в том числе и с .

Функциональная схема последовательного обнаружителя сигнала с неизвестной амплитудой, построенного по принципу комбинированной решающей статистики приведена на рис.8.3. Сопоставление характеристик такого обнаружителя с характеристиками вальдовского обнаружителя показывает, что процедура с комбинированной статистикой вблизи резонансного максимума имеет на 20-30 меньшую среднюю длительность и вдвое меньшее среднеквадратическое отклонение, т.е. более эффективна, чем вальдовская.

Возможное упрощение схемы обнаружителя показано на рис.8.4. Вычисление оценки

здесь не предусмотрено, вместо этого введен вычислитель решающей статистики, настроенный на значение , соответствующее резонансу. При таком построении сигналы со значением параметра, близким к оптимально обрабатываются дополнительным ВРС, а сигналы с параметрами и - основным. Характеристики обнаружителей, изображенных на рис.8.3; 8.4 практически совпадают.